Question

Problema
Una partícula se mueve a lo largo de una recta que tiene velocidad v(t)=t^2 e^(-t) metros por segundo, después de t segundos. ¿Cuán lejos llegará durante los primeros t segundos?

Instrucciones adicionales
1.- El problema deberá ser resuelto por 2 métodos de integración:
Método de integración por partes: ∫▒〖udv=uv-∫▒v du〗.
Método tabular de integración: dicho método debes investigarlo y aplicarlo al problema.
(Se debe colocar una breve explicación de cómo aplicar el método y a que funciones en particular solo puede aplicarse).

Answer 1

La partícula se mueve a lo largo de una recta que tiene velocidad v(t)=t^2 e^(-t) m/s, después de t segundos, dicha partícula llegara a:

Función desplazamiento (x) = (x² + 2x + 2 )e⁻ˣ + k

Explicación paso a paso:

Sabemos que el área bajo la curva de la velocidad nos da como resultado el desplazamiento, por eso al integrar en función del tiempo obtendremos el valor:

Colocamos x en vez de t (por facilidad de comprensión)

∫x²e⁻ˣdx

Método de integración por partes

u = x²  ;  du = 2xdx

dv = e⁻ˣ dx ;  v = -e⁻ˣ + k

x²e⁻ˣ - ∫-e⁻ˣ 2x dx

u = 2x  ;  du = 2dx

dv = -e⁻ˣdx  ;  v = e⁻ˣ + k

x²e⁻ˣ + 2x e⁻ˣ - 2∫e⁻ˣdx

x²e⁻ˣ + 2x e⁻ˣ + 2e⁻ˣ + k

(x² + 2x + 2 )e⁻ˣ + k

Método tabular de integración:

Este método consiste en derivar las funciones polinomios hasta llegar a cero, y a su vez integrar las funciones trascendentes tantas veces como se derivo la otra función

u = x²

v = e⁻ˣ

                 e⁻ˣ

x²      (+)    -e⁻ˣ

2x      (-)     e⁻ˣ

2        (+)   -e⁻ˣ

0          

x²*-e⁻ˣ - 2x*e⁻ˣ + 2-e⁻ˣ + k

(-x² -2x -2)e⁻ˣ + k (-1)

(x² + 2x + 2)e⁻ˣ + k