Matemáticas, pregunta formulada por SmithValdez, hace 1 año

PROBLEMA SUPER TOP -TRANCA
CALCULE EL EXPONENTE FINAL DE X
\sqrt{X\sqrt[3]{X^{2}\sqrt[4]{X^{3}\sqrt[5]{X^{4}.......}}}}
a)1
b)2
c)3
d)1/2
e)1/4


SmithValdez: AYUDA¡¡¡

Respuestas a la pregunta

Contestado por CarlosMath
3

Encontremos un patrón

Numero de equis

1: 1/2

2: 2 + (1/2)(1/3) =

3: 3 + (13/6)(1/4) = 3 + 2/4 + 1/4!

4: 4 + (85/24)(1/5) = 4 + 3/5 + 2/(5*4) + 1/5!

5: 5 + (4*5!)/6! + (3*4!)/6! + (2*3!)/6! + 1/6! = (5*6!+4*5!+3*4!+2*3!+1)/6!

Para n: \dfrac{1}{n!}\sum_{k=0}^n k(k+1)! - \dfrac{2}{n!}

La parte de la sumatoria diverge al infinito


SmithValdez: ayaa ,entonces el libro lo planteo mal ,muchas gracias carlos
SmithValdez: hola carlos , hace tiempo he visto que respondiste una pregunta sobre programación, creo que c++, y bueno creo que tu ya sabes esto de la programación , y te quería preguntar que libro me recomiendas para introducirme en esto de la programación.
SmithValdez: no se nada de programación
CarlosMath: Hola amigo. A decir verdad no tengo un libro en específico para recomendarte, ya que mi aprendizaje básico sobre programación (condicionales, selectores, bucles, esto es el corazón de lo básico en C++), lo aprendí de las clases en la U, con los compañeros y practicando (prueba y error) y luego el trato con arreglos, matrices, objetos, enums,...
CarlosMath: Lo que si te sugiero es una página que si es muy buena para una introducción a cualquier lenguaje de programación: w 3 s c h o o l s . c o m (todo junto, ya que brainly no me permite escribirlo)
Contestado por juancarlosaguerocast
3

Respuesta:

1

Explicación:

Tenemos la siguiente expresión:

\sqrt{X\sqrt[3]{X^{2}\sqrt[4]{X^{3}\sqrt[5]{X^{4}.......}}}}

Recordar:

 \sqrt[m]{ {x}^{n} }  =  {x}^{ \frac{n}{m} }

 \sqrt[a]{ \sqrt[b]{ {x}^{c} } }  =  {x}^{ \frac{c}{ab} }

Entonces la expresión lo podemos poner como:

\sqrt{X\sqrt[3]{X^{2}\sqrt[4]{X^{3}\sqrt[5]{X^{4}.......}}}}

X^{ \frac{1}{2} }X^{ \frac{2}{2 \cdot3}}X^{ \frac{3}{2 \cdot3 \cdot4} }X^{ \frac{4}{2 \cdot3 \cdot4\cdot5} }.....

X^{ \frac{1}{2!} }X^{ \frac{2}{3!}}X^{ \frac{3}{4!} }X^{ \frac{4}{5!} }.....

Recordar:

 {x}^{a} \cdot{x}^{b}  =  {x}^{ab}

Entonces la expresión queda así:

X^{ \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \frac{4}{5!}....}

El exponerte final de "x" es:

 \frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \frac{4}{5!}....

\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \frac{4}{5!}.... +  \frac{n}{(n + 1)!}

Aplicar sumatoria:

 \sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{n}{(n + 1)!}

\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{n + 1 - 1}{(n + 1)!}

\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{(n + 1 )- 1}{(n + 1)!}

\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{(n + 1 )}{(n + 1)!} - \frac{1}{(n + 1)!}

\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{(n + 1 )}{n!(n + 1)} - \frac{1}{(n + 1)!}

\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{1}{n!} - \frac{1}{(n + 1)!}

\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{1}{n!} - \sum_{n = 1}^{ \infty }\frac{1}{(n + 1)!}

\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{1}{n!} - \sum_{n = 1  +1}^{ \infty }\frac{1}{(n + 1 -1)!}

\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{1}{n!} - \sum_{n =2}^{ \infty }\frac{1}{(n)!}

(\sum_{n = 1}^{ \infty } \frac{1}{n!}) -( \sum_{n =2}^{ \infty }\frac{1}{(n)!})

Recordar:

\sum_{n =k}^{ \infty }a_{n} = \sum_{n =0}^{ \infty }a_{n} - \sum_{n =0}^{k - 1}a_{n}

Entonces nuestra expresión quedaría así:

(\sum_{n =0}^{ \infty } \frac{1}{n!} -\sum_{n =0}^{1 - 1} \frac{1}{n!}) -( \sum_{n =0}^{ \infty }\frac{1}{(n)!} - \sum_{n =0}^{2 - 1}\frac{1}{(n)!})

(\sum_{n =0}^{ \infty } \frac{1}{n!} -\sum_{n =0}^{0} \frac{1}{n!}) -( \sum_{n =0}^{ \infty }\frac{1}{(n)!} - \sum_{n =0}^{1}\frac{1}{(n)!})

Recordar que:

\sum_{n =0}^{ \infty } \frac{1}{n!} = e

Entonces nuestra expresión quedaría así:

(e-( \frac{1}{0!}) ) -(e- ( \frac{1}{0!} +  \frac{1}{1!}))

Recordar que:

0! = 1

1! = 1

Entonces nuestra expresión quedaría así:

(e-( \frac{1}{1}) ) -(e- ( \frac{1}{1} +  \frac{1}{1}))

(e-( 1) ) -(e- (1 + 1))

(e-( 1) ) -(e- (2))

(e-1 ) -(e-2)

(e)-(1) -(e)-( - 2)

e-1 - e + 2

Ordenar:

e - e + 2 - 1

0 + 2 - 1

2 - 1

1


SmithValdez: gracias amigo
SmithValdez: chevre
CarlosMath: Esta es la respuesta correcta
juancarlosaguerocast:
SmithValdez: he encontrado una interesante propiedad
SmithValdez: e^x = (x^0/0!)+(x^1/1!)+(x^2/2!)+....+(x^n/n!)
juancarlosaguerocast: chevere amigo
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