Question

PROBLEMA RETADOR-GEOMETRÍA

Answer 1

Esta vez será con trigonometría (para no gastarse la vista), véase el gráfico.

1. Supongamos que BE = 1 (se puede hacer esto ya que todos los demás segmentos pueden depender de BE según los ángulos dados)

2. Es fácil ver que

AE = cot 20 ⇒ EF = AE tan 10 = cot 20 tan 10

EC = tan 40

por ende

                            $\tan x =\dfrac{EC}{EF}=\dfrac{\tan 20 \cdot\tan 40}{\tan 10}$

3. Veamos tan 20 tan 40

$\tan20\tan 40 =\dfrac{\sin20\sin40}{\cos20\cos40}=\dfrac{\cos20-1/2}{\cos20+1/2}\\ \\ \\\tan20\tan 40 =1-\dfrac{2}{2\cos 20+1}=1-\dfrac{2}{3-4\sin^210}=1-\dfrac{2\sin10}{\sin 30}\\ \\ \\\tan20\tan 40 =1-4\sin10=1-\dfrac{2\sin20}{\cos10}=\dfrac{\cos10-2\sin20}{\cos10}\\ \\ \\\tan20\tan 40 =\dfrac{\cos10-2\sin(30-10)}{\cos10}=\dfrac{\cos10-(\cos10-\sqrt3\sin10)}{\cos10}\\ \\ \\\tan20\tan 40 =\sqrt3~\tan10$

4. de 2 y 3

$\tan x =\sqrt3 \to \boxed{x=60\°}$