Question

PROBLEMA. La posición en la que se encuentra un objeto lanzado directamente hacia arriba queda determinado por el modelo: s(t)=48 t – 16 t². Donde s es medido en pies y t en segundos.


Determina:

1. En qué momento alcanza la altura máxima.

2. Cuál es la altura máxima.

3. Cuando llega al piso.

4. A que velocidad llega al piso.

5. Cual es la aceleración en t=2.

Answer 1

Del modelo que describe la posición de un objeto al ser lanzado hacia arriba se obtiene:

1. El momento en el que el objeto alcanza la altura máxima es:

  1.5 s

2. La altura máxima que alcanza es:

   36 pies

3. El tiempo que tardo en llegar al piso es:

   3 s

4. La velocidad con la que llega al piso es:

   -48 pies/s

5. La aceleración en t=2 s es:

  -32 pies/s²

¿Cómo obtener máximos y mínimos?

Aplicando derivadas sucesivas. La primera derivada permite hallar un punto crítico y la segunda derivada determina si se trata de un máximo o mínimo.

Criterio de la segunda derivada:

• Si la segunda derivada es positiva, se está hablando de un mínimo relativo.
• Si la segunda derivada es negativa se está hablando de un máximo relativo.

¿En qué momento alcanza la altura máxima?, ¿Cuál es la altura máxima?, ¿Cuándo llega al piso?, ¿A qué velocidad llega al piso? Y ¿Cuál es la aceleración en t = 2 s?

Siendo la posición del objeto:

s(t) = 48t - 16t²

Aplicar primera derivada;

s'(t) = d/dt(48t - 16t²)

s'(t) = 48 - 32t

Aplicar segunda derivada;

s''(t) = d/dt (48 - 32t)

s''(t) = -32 ⇒ Máximo relativo

Igualar s'(t) a cero;

48 - 32t = 0

32t = 48

t = 48/32

t = 1.5 s

Evaluar t = 1.5 s;

s(max) = 48(1.5) - 16(1.5)²

s(max) = 72 - 36

s(max) = 36 pies

Las raíces de s(t) es cuando sale y cae al suelo.

Iguala s(t) a cero;

48t - 16t² = 0

Factor común t;

t(48 - 16t) = 0

16t = 48

t = 48/16

t = 3 s

La velocidad es la derivada de la expresión de la posición.

v(t) = s'(t) = 48 - 32t

Evaluar t = 3 s;

v(3) = 48 - 32(3)

v(3) = 48 - 96

V(3) = -48 pies/s

La aceleración de derivada de la velocidad o la segunda derivada de la posición.

a(t) = s''(t) = -32 pies/s²

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