Question

Problema: En la teoría del aprendizaje, se supone que la rapidez con que se memoriza algo es proporcional a la cantidad de datos por memorizar, suponga que M representa la cantidad total de un tema que se debe memorizar y que A(t) es la cantidad memorizada cuando el tiempo es t, Cual es la ecuación diferencial que expresa y la solución para determinar la cantidad A(t) para cualquier t.

∂A/∂t=kMA ,k>0, A(t)=A/M e^kt

Answer 1

La ecuación diferencial que expresa la tasa de cambio de la cantidad  A(t)  para cualquier t es:

$\bold{\frac{dA}{dt}= k(M-A)}$  

y la solución para determinar la cantidad A(t) para cualquier t:

$\bold {A_{(t)}=M-Ce^{-kt}}$

Explicación:  

Si  M  representa la cantidad total de un tema que se debe memorizar, A(t) es la cantidad memorizada cuando el tiempo es  t  y  k  una constante de proporcionalidad, la ecuación diferencial que expresa la tasa de cambio de la cantidad  A(t)  para cualquier t es:  

$\bold{\frac{dA}{dt}= k(M-A)}$  

Esta es una ecuación diferencial de variables separables, que se resuelve de la siguiente manera:

$\frac{dA}{dt}= k(M-A) \quad \Rightarrow \quad \frac{dA}{(M-A)}= k dt \quad \Rightarrow$  

$\frac{dA}{dt}= k(M-A) \quad \Rightarrow \quad \int{\frac{dA}{(M-A)}}= \int{k dt} \quad \Rightarrow$  

$\frac{dA}{dt}= k(M-A) \quad \Rightarrow \quad Ln(M-A)= -kt+C \quad \Rightarrow$  

$\bold {A_{(t)}=M-Ce^{-kt}}$