Question

problema de diferencial.
Un trozo de hielo en forma de prisma triangular se expone a altas temperaturas, sus lados se dilatan a razón de 0.05 centímetros por minuto.
La base es un triangulo equilatero de L= 4cm y su altura es de 2 veces L.
¿En cuánto tiempo se habrá derretido el hielo?
Ayúdenme por fa es para un tarea. ​

Answer 1

El hielo tarda un tiempo de 13,3 minutos en derretirse por completo en función de la rapidez con que sus lados se encogen.

Aquí debemos hallar una expresión para el volumen del prisma y luego hallar la rapidez con la que su volumen se reduce mediante derivadas.

¿Como hallar una función para el volumen?

Si la base del prisma es un triángulo equilátero de L=4cm de lado y la altura es h=2L, podemos tomar a L como variable independiente, entonces podemos plantear una función para el volumen del prisma en función de L:

$V=\frac{\sqrt{3}L^2}{4}h=\frac{\sqrt{3}L^2.2L}{4}=\frac{\sqrt{3}L^3}{2}$

¿Cómo hallar la variación temporal del volumen?

Podemos derivar la función de volumen respecto al tiempo conociendo la variación de L (los lados) en función del tiempo, queda:

$\frac{dV}{dt}=\frac{dV}{dL}\frac{dL}{dt}=\frac{3\sqrt{3}}{2}L^2\frac{dL}{dt}\\\\\frac{dV}{dt}=\frac{3\sqrt{3}}{2}(2cm)^2.(-0,05cm)=-0,52\frac{cm^3}{min}$

Lo que significa que por cada minuto, el prisma pierde 0,52 centímetros cúbicos de volumen.

¿Como hallar el tiempo en que el prisma se derrite por completo?

El volumen inicial del prisma es:

$V=\frac{\sqrt{3}}{2}L^3=\frac{\sqrt{3}}{2}(2cm)^3=6,93cm^3$

Entonces, el tiempo en que el hielo se derrite en su totalidad es:

$V_i+\frac{dV}{dt}t=0\\t=-\frac{V}{\frac{dV}{dt}}=-\frac{6,93cm^3}{-0,52\frac{cm^3}{min}}=13,3min$

Más ejemplos sobre volúmenes de prismas en el siguiente link https://brainly.lat/tarea/31744675