Problema de Aplicación de Derivadas:
En una planta de arena y grava, la arena cae de una cinta transportadora creando un montículo de forma cónica, a razón de 10 pies cúbicos por minuto. El diámetro de la base del montículo es de aproximadamente tres veces la altura.¿ A que ritmo cambia la altura del montón cuando su altura es de 15 pies.
Respuestas a la pregunta
Tenemos que:
dV/dt = 10 ft³/ min
d = 3h
r = d/2 = 3/2h
dh/dt= 15 ft
Volumen cono= 1/3 π r² h
V= 3/4 h³π
Como V(t)= 10t
∛(40t/3π) = h(t)
Tenemos que hallar t para cuando h(t) = 15
15 = ∛(40t/3π)
t= 2025π /8
Derivando:
h´(t) = (40t/3π) ^-2/3 * 40/9π
Evaluando en el punto:
h´(2025π /8) = (40(2025π /8)/3π) ^-2/3 * 40/9π
= (3375) ^-2/3 * 40/9π = 40/9π(∛3375²) = 40/9π(225) = 8/(405π) m/seg
R: dh/dt = 8/(405π) m/seg, es decir que la razón de cambio cuando la altura es 15 es de 8/(405π) m/seg.
El ritmo al que cambia la altura del montón cuando esta es de 15 pies y el volumen aumenta a razón de 10 pies³/min, es de 0.006 pies por minuto, aproximadamente.
¿Qué es una razón de cambio?
Una razón de cambio es el cambio que ocurre en una variable dependiente producto de las variaciones en la variable independiente, y se calcula por medio de la derivación.
Generalmente, las razones de cambio involucran variables implicitas, por ejemplo, el caso estudio involucra las razones de cambio del volumen y las dimensiones del cono con respecto al tiempo. El tiempo es la variable independiente y es implícita.
La función que nos permite calcular el volumen (V) de un cono de altura (H) y radio (R) es:
V = (1/3)·π·R²·H
Se sabe que el diámetro de la base es tres veces la altura, por lo que el radio será 3/2 veces la altura.
V = (1/3)·π·(3/2 H)²·H = (3/4)·π·H³
La razón de cambio del volumen viene dada por la derivada implícita con respecto al tiempo (t).
dV/dt = (9/4)·π·H²·dH/dt
Sustituimos los valores de H y dV/dt
10 pies³/min = (9/4)·π·(15 pies)²·dH/dt ⇒
dH/dt = [4·10 pies³/min]/[9·π·225 pies²] = 8/(405·π) ≈ 0.006 pies/min
El ritmo al que cambia la altura del montón cuando su altura es de 15 pies y el volumen aumenta a razón de 10 pies³/min, es de 0.006 pies por minuto, aproximadamente.
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