Question

problema de algebra , 4to sec.

Answer 1

Hola :D

Tema: Binomio de Newton

El problema a resolver es el de encontrar el cuarto término de ${1+{2x}^{2}}^{2}$, para ello definamos el Binomio:

$(x + \: y)^{n} = \binom{n}{0} {x}^{n} {y}^{0} + \binom{n}{1} {x}^{n - 1} {y}^{1} + \binom{n}{2} {x}^{n - 2} {y}^{2} ... \binom{n}{n} {x}^{0} {y}^{n}$

Debemos usar Combinatoria, ya que el esquema:

$\binom{a}{b}$

Pertenece al tema de combinaciones.

El cuarto término lo podemos encontrar desarrollando el binomio con exponente $5$:

$(x + \: y)^{n} = \binom{n}{0} {x}^{n} {y}^{0} + \binom{n}{1} {x}^{n - 1} {y}^{1} + \binom{n}{2} {x}^{n - 2} {y}^{2} + \underbrace{ \binom{n}{3} {x}^{n - 3} {y}^{3} }_{ {4}^{to} \: \textrm{t\'ermino} } + \binom{n}{4} {x}^{n - 4} {y}^{4} + \binom{n}{n} {x}^{0} {y}^{n}$

Ahora, ya encontrado el cuarto término, sustituimos, en este caso, $n=5$.

$\binom{5}{3} {x}^{5 - 3} {y}^{3} \rightarrow \: \binom{5}{3} {x}^{2} {y}^{3}$

$x=1$ y $y={2x}^{2}$, sustituyendo:

$\binom{5}{3}( {1})^{2} ( {2x}^{2} ) ^{3} \rightarrow \binom{5}{3}8 {x}^{6}$

Sólo nos falta encontrar la combinación.

El número de arriba (5) es $n$, el de abajo (3) $k$, dicho esto, te introduzco la fórmula:

$\dfrac{n!}{(n - k)! \times k!}$

Sustituyendo:

$\dfrac{5!}{(5 - 3)! \times 3!} \rightarrow \: \dfrac{5!}{2! \times 3!}$

Te preguntarás y, ¿Cómo resuelvo eso?

Bueno, para ello hemos de usar la definición del factorial de un número (!), el cual es el número actual multiplicado por sus anteriores, sólo que tienen que ser números naturales, y enteros positivos.

Ejemplo:

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 \\ 6! = 720$

Siguiendo ésa lógica, resolvemos:

$\dfrac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(3 \times 2 \times 1)} \rightarrow \: \dfrac{120}{12}$

Dándonos: $10$.

Terminando:

Multiplicamos ese $10$ con ${8x}^{6}$:

$10(8 {x}^{6} )$

Respuesta:

$\boxed{ \boxed{ \boxed{80 {x}^{6} }}}$

No tienes ninguna opción, por lo que hay un error con las respuestas dadas por tu profesor.

Espero haberte ayudado,

Saludos cordiales, AspR178 !!!!!

Moderador Grupo ⭕✌️✍️