Question

Problema B.3. Un pueblo está situado en el punto A (4,0) de un sistema de referencia cartesiano. El tramo de un río situado en el término municipal del pueblo describe la curva , y x2/4, -6≤ x ≤ 6. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) La distancia entre un punto P x,( y) del río y el pueblo en función de la abscisa x de P. (2 puntos)
b) El punto o puntos del tramo del río situados a distancia mínima del pueblo. (4 puntos)
c) El punto o puntos del tramo del río situados a distancia máxima del pueblo. (4 puntos)

PRUEBA SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUN 2015 MATEMATICA II

Answer 1

a)      La distancia entre el punto P(x, y) del rio y el pueblo en función de la abscisa x de P.

                        

Como la función viene dada en función de x y la distancia se pide en función de x, el punto P que representa cualquier punto en la función es expresado como:

 

P (x, x^2/4)

 

La distancia entre el punto A y el punto P es:

 

D = √(x – 0)^2 + (x^2/4 – 4)^2

 

D = √x^2 + x^4/16 – 2(x^2/4)(4) + 16

 

D = √x^2 + x^4/16 – 2x^2 + 16

 

D = √x^4/16 – x^2 + 16

 

b)      El punto o puntos del tramo del rio situados a la distancia mínima del pueblo.

 

Para el caso de esta sección, se utiliza la ecuación de la distancia ya que los puntos mínimos ocurrirán cuando la distancia sea mínima.

 

D^2 = Dm = x^4/16 – x^2 + 16

 

Dm’ = x^3/4 – 2x

 

Dm’’ = 3x^2/4 – 2

 

Se iguala la primera derivada a cero y se despeja la x.

 

x^3/4 – 2x = 0

 

x1 = 0

 

x2 = ±√8

 

Se evalúa Dm’’(±√8).

 

Dm’’(±√8) = 3(±√8)^2/4 – 2 = 4 > 0 (Mínimo)

 

Ahora se sustituyen los valores en la función original.

 

f(±√8) = (±√8)^2/4 = 2

 

Finalmente los puntos mínimos son:

 

m1 (√8, 2)

 

m2 (-√8, 2)

 

c)       El punto o puntos del tramo del rio situados a la distancia máxima del pueblo.

 

Para el caso de esta sección, se utiliza la ecuación de la distancia ya que los puntos máximos ocurrirán cuando la distancia sea máxima.

 

Los puntos con mayor distancia son ambos límites de la función, x = ±6 por lo tanto se sustituyen estos valores y la función y se tiene que:

 

f(±6) = (±6)^2/4 = 9

 

Los puntos máximos son:

 

M1 (6, 9)

 

M2 (-6, 9)

 

PRUEBA DE SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015 MATEMÁTICAS II.