Problema B.1. Se da el sistema de ecuaciones { (1 – α) + (2α + 1)y + (2α + 2) = α; { αx + αy = 2α + 2; {2x + (α + 1)y + (α – 1)= α2 - 2α + 9. Donde α es un parámetro real. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:
a) Todas las soluciones del sistema cuando α = 1. (3 puntos)
b) La justificación razonada de si el sistema es compatible o incompatible cuando α = 2. (3 puntos)
c) Los valores de α para los que el sistema es compatible y determinado. (4 puntos).
PRUEBA SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUN 2015 MATEMATICA II
Respuestas a la pregunta
a) Todas las soluciones del sistema cuando α = 1.
Sustituyendo α = 1 el sistema queda:
3Y + 4Z = 1
X + Y = 4
2X + 2Y = 8
La matriz resultante es:
(0 3 4 | 1)
(1 1 0 | 4)
(2 2 0 | 8)
Se aplica la operación F3 = F3 – 2F2.
(0 3 4 | 1)
(1 1 0 | 4)
(0 0 0 | 0)
Se determina que la ecuación 2 y 3 son linealmente dependientes, por lo tanto el sistema queda con 2 ecuaciones y 3 incógnitas, por lo que se tienen infinitas soluciones posibles.
X = λ
Y = 4 – λ
Z = (3λ – 11) / 4
b) La justificación razonada de si el sistema es compatible o incompatible cuando α = 2.
Se sustituye α = 2 en el sistema de ecuaciones:
-X + 5Y + 6Z = 2 (1)
2X + 2Y = 6 (2)
2X + 3Y + Z = 9 (3)
Se despeja x de la segunda ecuación y se sustituye en la primera y la tercera.
X = 3 – Y
Y – 3 + 5Y + 6Z = 2
6 – 2Y + 3Y + Z = 9
Reordenando las ecuaciones:
6Y + 6Z = 5 (4)
Y + Z = 3 (5)
Se despeja Y de la ecuación 5 para sustituirla en la ecuación 4.
Y = 3 – Z
18 – 6Z + 6Z = 5
18 = 5
Como se puede observar el resultado es incongruente, por lo tanto se concluye que para α = 2 el sistema es incompatible.
c) Los valores de α para los que el sistema sea compatible determinado.
La matriz con los coeficientes queda:
( α α 0 | (2α + 2) )
((1-α) (2α + 1) (2α + 2) | α )
( 2 (α + 1) (α – 1) |α^2 - 2α + 9)
Operaciones:
F1 = F1/α
F2 = F2 – (1 – α)F1
F3 = F3 – 2F1
F3 = F3/(α – 1)
F2 = F2/3α
F3 = F3 – F2
F1 = F1 – F2
F1 = F1 + (3α + 1)F3/3α
F2 = F2 – (3α + 1)F3/3α
El resultado es:
(1 0 0| A)
(0 1 0| B)
(0 0 1| C)
Dónde:
X=A= 3α(3α^2 + 6α + 2)(α^2 – α)+(3α + 1)(3α^2)(-3α^4 + 9α^3 - 18α^2 + 10α + 2) / 9α^3(α^2 – 2α)
Y=B= 3α(3α^2 - 2)(α^2 – α) - (3α + 1)(3α^2)(-3α^4 + 9α^3 - 18α^2 + 10α + 2) / 9α^3(α^2 – 2α)
Z = C = (-3α^4 + 9α^3 - 18α^2 + 10α + 2) / (α^2 – 2α)
En estas soluciones se estudian los denominadores para obtener los valores de α que hacen que el sistema sea indeterminado.
Denominador:
9α^3(α^2 – 2α) ≠ 0
α1 ≠ 0
α2 ≠ 2
El sistema es determinador para todos los números reales excepto el 0 y el 2.
PRUEBA DE SELECTIVIDAD VALENCIA CONVOCATORIA JUNIO 2015 MATEMÁTICAS II.