Question

Problema 5
Sea p un numero primo. Determinar todos los enteros k tales que
$\sqrt{k} {}^{2} - kp$
- es un número natural.​

Answer 1

Si la expresión correcta es √(k²) - kp: entonces k debe ser negativo

Si la expresión correcta es √(k² - kp): entonces k puede ser

• k = (p + 1)²/4
• k = -(p-1)²/4

Si p es un número primo supondremos que positivo, entonces veamos la expresión que tenemos:

Si la expresión es √(k²) - kp

= |k| - kp

Entonces si k es negativo: tenemos que -kp es positivo |k| por ser k entero (y en este caso negativo)  entonces seria un natural y la suma de naturales es natural. Entonces obtenemos un natural

Si k es positivo, entonces -kp es negativo: pero además como p es primo seria mayor que 1 y entonces es mayor que |k| por lo tanto el número no seria natural.

Si k es igual a cero: la expresión es igual a cero, no seria un natural.

Si la expresión es √(k² - kp)

Sea √(k² - kp) = n, donde n es un entero, entonces elevando al cuadrado y despejando otenemos que:

k² - pk - n² = 0

Buscando las raíces con la resolvente:

k1,2 = (p ± √(p² - 4*1*(-n²)))/2

=  (p ± √(p² + 4n²))/2

Para que sea entero: entonces dentro de la raíz debemos tener un cuadrado perfecto: p² + 4n² un cuadrado perfecto, entonces:

p² + 4n² = m²

p² = m² - 4n²

p² = m² - (2n)² = (m + 2n)*(m - 2n)

Como p es un número primo y es impar: entonces p ≥ 3, la descomposición de p² en factores primos es: p = p*p

Como es primo: entonces por teorema fundamental del algebra sus descomposición en factores es solo el mismo número, es decir, no existen dos enteros positivos distintos de p que puedan descomponer a p², por lo tanto o ambos son iguales a p o uno de ellos es p² y el otro es 1.

Pero ambos no pueden ser iguales a p: pues son dos números distintos, ahora bien el que es igual a p² es el mayor de ellos, entonces

1. m + 2n = p²

m - 2n = 1

⇒ 2. m = 1 + 2n

Sustituyo en 1:

1 + 2n +2n = p²

4n = p² - 1

n = (p² - 1)/4

Sustituyo en 2:

m = 1 + 2* (p² - 1)/4

m = 1 + (p²-1)/2

= p²/2 + 1 - 1/2

= p²/2 + 1/2 = (p² + 1)/2

Sustituyendo en el valor de k

k1,2 =  (p ± √(p² + 4n²))/2

k1,2 =  (p ± √(m²))/2

k1,2 =  (p ± m)/2

k1,2 = (p ± (p² + 1)/2)/2

=  (2p ± (p² + 1))/4 =

k1 = (2p + p² + 1)/4 = (p + 1)²/4

k2 = (2p - p² - 1)/4 = -(p² - 2p + 1)/4 = -(p-1)²/4