Problema 5
Sea p un número primo. Determinar todos los enteros k tales que la raiz cuadrada de k al cuadrado - kp es un número natural.
Respuestas a la pregunta
Si la expresión correcta es √(k²) - kp: entonces k debe ser negativo
Si la expresión correcta es √(k² - kp): entonces k puede ser
- k = (p + 1)²/4
- k = -(p-1)²/4
Si p es un número primo supondremos que positivo, entonces veamos la expresión que tenemos:
Si la expresión es √(k²) - kp
= |k| - kp
Entonces si k es negativo: tenemos que -kp es positivo |k| por ser k entero (y en este caso negativo) entonces seria un natural y la suma de naturales es natural. Entonces obtenemos un natural
Si k es positivo, entonces -kp es negativo: pero además como p es primo seria mayor que 1 y entonces es mayor que |k| por lo tanto el número no seria natural.
Si k es igual a cero: la expresión es igual a cero, no seria un natural.
Si la expresión es √(k² - kp)
Sea √(k² - kp) = n, donde n es un entero, entonces elevando al cuadrado y despejando otenemos que:
k² - pk - n² = 0
Buscando las raíces con la resolvente:
k1,2 = (p ± √(p² - 4*1*(-n²)))/2
= (p ± √(p² + 4n²))/2
Para que sea entero: entonces dentro de la raíz debemos tener un cuadrado perfecto: p² + 4n² un cuadrado perfecto, entonces:
p² + 4n² = m²
p² = m² - 4n²
p² = m² - (2n)² = (m + 2n)*(m - 2n)
Como p es un número primo y es impar: entonces p ≥ 3, la descomposición de p² en factores primos es: p = p*p
Como es primo: entonces por teorema fundamental del algebra sus descomposición en factores es solo el mismo número, es decir, no existen dos enteros positivos distintos de p que puedan descomponer a p², por lo tanto o ambos son iguales a p o uno de ellos es p² y el otro es 1.
Pero ambos no pueden ser iguales a p: pues son dos números distintos, ahora bien el que es igual a p² es el mayor de ellos, entonces
1. m + 2n = p²
m - 2n = 1
⇒ 2. m = 1 + 2n
Sustituyo en 1:
1 + 2n +2n = p²
4n = p² - 1
n = (p² - 1)/4
Sustituyo en 2:
m = 1 + 2* (p² - 1)/4
m = 1 + (p²-1)/2
= p²/2 + 1 - 1/2
= p²/2 + 1/2 = (p² + 1)/2
Sustituyendo en el valor de k
k1,2 = (p ± √(p² + 4n²))/2
k1,2 = (p ± √(m²))/2
k1,2 = (p ± m)/2
k1,2 = (p ± (p² + 1)/2)/2
= (2p ± (p² + 1))/4 =
k1 = (2p + p² + 1)/4 = (p + 1)²/4
k2 = (2p - p² - 1)/4 = -(p² - 2p + 1)/4 = -(p-1)²/4