Question

Principales propiedades de la distribucion de gauss .

Answer 1

Hola.                                                                                                                       Algunas propiedades de la distribución normal son las siguientes:Es simétrica respecto de su media, {\displaystyle \mu };Distribución de probabilidad alrededor de la media en una distribución N(μ, σ2).La moda y la mediana son ambas iguales a la media, {\displaystyle \mu };Los puntos de inflexión de la curva se dan para {\displaystyle x=\mu -\sigma } y {\displaystyle x=\mu +\sigma }.Distribución de probabilidad en un entorno de la media:en el intervalo {\displaystyle [\mu -\sigma ,\mu +\sigma ]}se encuentra comprendida, aproximadamente, el 68,26% de la distribución;en el intervalo {\displaystyle [\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]} se encuentra, aproximadamente, el 95,44% de la distribución;por su parte, en el intervalo {\displaystyle [\mu -3\sigma ,\mu +3\sigma ]} se encuentra comprendida, aproximadamente, el 99,74% de la distribución. Estas propiedades son de gran utilidad para el establecimiento de intervalos de confianza. Por otra parte, el hecho de que prácticamente la totalidad de la distribución se encuentre a tres desviaciones típicas de la media justifica los límites de las tablas empleadas habitualmente en la normal estándar.Si {\displaystyle X\sim N(\mu ,\sigma ^{2})} y {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }, entonces {\displaystyle aX+b\sim N(a\mu +b,a^{2}\sigma ^{2})}.Si {\displaystyle X\sim N(\mu _{X},\sigma _{X}^{2})} e {\displaystyle Y\sim N(\mu _{Y},\sigma _{Y}^{2})} son variables aleatorias normales independientes, entonces:Su suma está normalmente distribuida con {\displaystyle U=X+Y\sim N(\mu _{X}+\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})} (demostración). Recíprocamente, si dos variables aleatorias independientes tienen una suma normalmente distribuida, deben ser normales (Teorema de Crámer).Su diferencia está normalmente distribuida con {\displaystyle V=X-Y\sim N(\mu _{X}-\mu _{Y},\sigma _{X}^{2}+\sigma _{Y}^{2})}.Si las varianzas de X e Y son iguales, entonces U y V son independientes entre sí.La divergencia de Kullback-Leibler, {\displaystyle D{\rm {KL}}(X\|Y)={1 \over 2}\left(\log \left({\sigma _{Y}^{2} \over \sigma _{X}^{2}}\right)+{\frac {\sigma _{X}^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}+{\frac {\left(\mu _{Y}-\mu _{X}\right)^{2}}{\sigma _{Y}^{2}}}-1\right).}Si {\displaystyle X\sim N(0,\sigma _{X}^{2})} e {\displaystyle Y\sim N(0,\sigma _{Y}^{2})} son variables aleatorias independientes normalmente distribuidas, entonces:Su producto {\displaystyle XY} sigue una distribución con densidad {\displaystyle p\,} dada por{\displaystyle p(z)={\frac {1}{\pi \,\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\;K_{0}\left({\frac {|z|}{\sigma _{X}\,\sigma _{Y}}}\right),} donde {\displaystyle K_{0}\,} es una función de Bessel modificada de segundo tipo.Su cociente sigue una distribución de Cauchy con {\displaystyle X/Y\sim \mathrm {Cauchy} (0,\sigma _{X}/\sigma _{Y})\,}. De este modo la distribución de Cauchy es un tipo especial de distribución cociente.Si {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}} son variables normales estándar independientes, entonces {\displaystyle X_{1}^{2}+\cdots +X_{n}^{2}} sigue una distribución χ² con n grados de libertad.Si {\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}} son variables normales estándar independientes, entonces la media muestral {\displaystyle {\bar {X}}=(X_{1}+\cdots +X_{n})/n} y la varianza muestral {\displaystyle S^{2}=((X_{1}-{\bar {X}})^{2}+\cdots +(X_{n}-{\bar {X}})^{2})/(n-1)} son independientes. Esta propiedad caracteriza a las distribuciones normales y contribuye a explicar por qué el test-F no es robusto respecto a la no-normalidad).