Primera y segunda formas fundamentales de la superficie
Respuestas a la pregunta
Respuesta:
Primera forma fundamental 65
fundamental de S no var´ıa al hacer cambios de par´ametros (pues por dichos cambios no var´ıan
los espacios tangentes en los puntos de S).
Podemos decir que g = {gP }P ∈S es una familia de m´etricas eucl´ıdeas sobre S que “ var´ıa de
modo diferencable ” en el siguiente sentido: haciendo abstracci´on del punto P de S, la expresi´on
matricial de la primera forma fundamental g en la base {ϕu, ϕv} es
g11 g12
g12 g22 !
,
donde {gij}i,j son funciones diferenciables (de clase C
m−1
, m−1 ≥ 1) sobre el abierto U donde
var´ıan los par´ametros.
Segunda forma fundamental 83
Definici´on Seg´un la proposici´on 6.8, para cada punto P de S tenemos un endomorfismo
φP : TP S → TP S, el cual se conoce como endomorfismo de Weingarten de la superficie S en
el punto P.
Fijado un punto P en la superficie S, para cada vector e tangente a S en P tenemos
que φP (e) es (salvo el signo) la derivada del vector normal unitario a la superficie en P en la
direcci´on de e. Por lo tanto el endomorfismo φP mide c´omo var´ıa N (esto es, la direcci´on del
plano tangente a S) en las vecindades de P. Es decir, φP describe “ c´omo se curva ” S en P.
Definici´on Hemos definido el endomorfismo de Weingarten de S punto a punto, pero
podemos definirlo globalmente. Si D es un campo tangente a S, entonces en la demostraci´on
de la proposici´on 6.8 hemos visto que el campo de vectores D∇N sobre S tambi´en es tangente
a S. De este modo, como N es de clase C
m−1
, dado 1 ≤ r ≤ m − 1 tenemos el operador
φ : Dr
(S) −→ Dr−1
(S)
D 7−→ φ(D) := −D∇N .
Es trivial comprobar que esta aplicaci´on φ es C
r
(S)-lineal, es decir, dados campos tangentes
D1 y D2 sobre S y dada una funci´on diferenciable f : S → R, se cumplen
φ(D1 + D2) = φ(D1) + φ(D2), φ(fD1) = fφ(D1)