Question

Primera y segunda formas fundamentales de la superficie

Answer 1

Respuesta:

Primera forma fundamental 65

fundamental de S no var´ıa al hacer cambios de par´ametros (pues por dichos cambios no var´ıan

los espacios tangentes en los puntos de S).

Podemos decir que g = {gP }P ∈S es una familia de m´etricas eucl´ıdeas sobre S que “ var´ıa de

modo diferencable ” en el siguiente sentido: haciendo abstracci´on del punto P de S, la expresi´on

matricial de la primera forma fundamental g en la base {ϕu, ϕv} es

g11 g12

g12 g22 !

,

donde {gij}i,j son funciones diferenciables (de clase C

m−1

, m−1 ≥ 1) sobre el abierto U donde

var´ıan los par´ametros.

Segunda forma fundamental 83

Definici´on Seg´un la proposici´on 6.8, para cada punto P de S tenemos un endomorfismo

φP : TP S → TP S, el cual se conoce como endomorfismo de Weingarten de la superficie S en

el punto P.

Fijado un punto P en la superficie S, para cada vector e tangente a S en P tenemos

que φP (e) es (salvo el signo) la derivada del vector normal unitario a la superficie en P en la

direcci´on de e. Por lo tanto el endomorfismo φP mide c´omo var´ıa N (esto es, la direcci´on del

plano tangente a S) en las vecindades de P. Es decir, φP describe “ c´omo se curva ” S en P.

Definici´on Hemos definido el endomorfismo de Weingarten de S punto a punto, pero

podemos definirlo globalmente. Si D es un campo tangente a S, entonces en la demostraci´on

de la proposici´on 6.8 hemos visto que el campo de vectores D∇N sobre S tambi´en es tangente

a S. De este modo, como N es de clase C

m−1

, dado 1 ≤ r ≤ m − 1 tenemos el operador

φ : Dr

(S) −→ Dr−1

(S)

D 7−→ φ(D) := −D∇N .

Es trivial comprobar que esta aplicaci´on φ es C

r

(S)-lineal, es decir, dados campos tangentes

D1 y D2 sobre S y dada una funci´on diferenciable f : S → R, se cumplen

φ(D1 + D2) = φ(D1) + φ(D2), φ(fD1) = fφ(D1)