Question

Pregunta de cálculo sobre límites, agradecería que me explicaran, aún así, si no pueden no hay problema. (30 puntos doy). ​

Answer 1

Veamos, tenemos:

$\lim _{x\to \:0}\left(\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+49}-7}\right)$

El límite es indeterminado ya que el denominador se anula por lo que debemos racionalizar, para ello:

$\lim _{x\to \:0}\left(\dfrac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+49}-7}\cdot \dfrac{\sqrt{x+49}+7}{\sqrt{x+49}+7}\right)$

$\lim _{x\to \:0}\left(\dfrac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+49}+7)}{x+49-49}\right)$

$\lim _{x\to \:0}\left(\dfrac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+49}+7)}{x}\right)$

Multiplicamos por el conjugado de la primera expresión:

$\lim _{x\to \:0}\left(\dfrac{(\sqrt{x+1}-1)(\sqrt{x+49}+7)\cdot }{x}\cdot \dfrac{\sqrt{x+1}+1}{\sqrt{x+1}+1}\right)$

$\lim _{x\to \:0}\left(\dfrac{x(\sqrt{x+49}+7)}{x(\sqrt{x+1}+1)}\right)$

$\lim _{x\to \:0}\left(\dfrac{\sqrt{x+49}+7}{\sqrt{x+1}+1}\right)$

Evaluamos:

$\dfrac{\sqrt{0+49}+7}{\sqrt{0+1}+1} = \dfrac{7}{1} = 7$