Question

PREGUNTA 4 Entre dos placas imantadas se encuentra un punto Q. Si la ecuación de la placa positiva (+) está dada por: 3x – 2y + 5z + 10 = 0 y la placa negativa (-) tiene por la ecuación: 9x - 6y + 15z - 7 = 0. Si el punto Q tiene por coordenadas ( 1 ;-3 ; 4). Determine la distancia de la placa que se encuentra más cerca del punto Q y la distancia entre las placas​

Answer 1

La placa más cercana al punto  Q  es la placa negativa a una distancia de  4,33  unidades de longitud, aproximadamente, y están separadas entre si  2  unidades de longitud, aproximadamente.

Explicación:

La ecuación canónica de un plano en el espacio viene dada por:

 

a(x  -  x₀)  +  b(y  -  y₀)  +  c(z  -  z₀)  =  0

donde:

(x₀, y₀, z₀)     es un punto perteneciente al plano

v  =  ai  +  bj  +  ck     es un vector normal al plano

De aquí es fácil hallar la ecuación general del plano

ax  +  by  +  cz  +  d  =  0

La distancia  D  de un punto  (x₁, y₁, z₁)   a un plano en ecuación general es:

$\bold{D = \dfrac{|~a\cdot x_{1}~+~ b\cdot y_{1}~+~ c\cdot z_{1}~+~d~|}{\sqrt{a^2~+~b^2~+~c^2}}}$

La distancia  P  entre dos planos paralelos    

ax  +  by  +  cz  +  d₀  =  0                   ax  +  by  +  cz  +  d₁  =  0    

viene dada por

$\bold{P = \dfrac{|~d_{2}~-~ d_{1}~|}{\sqrt{a^2~+~b^2~+~c^2}}}$

En el caso que nos ocupa:

Q  =  (1, -3, 4)

Distancia a la placa (+)        3x  -  2y  +  5z  +  10  =  0

$\bold{D = \dfrac{|~(3)\cdot (1)~+~ (-2)\cdot (-3)~+~ (5)\cdot (4)~+~10~|}{\sqrt{(3)^2~+~(-2)^2~+~(5)^2}}~=~\dfrac{39}{\sqrt{38}}~\approx~6,33}$

Distancia a la placa (-)        9x  -  6y  +  15z  -  7  =  0

$\bold{D = \dfrac{|~(9)\cdot (1)~+~ (-6)\cdot (-3)~+~ (15)\cdot (4)~-~7~|}{\sqrt{(9)^2~+~(-6)^2~+~(15)^2}}~=~\dfrac{80}{\sqrt{342}}~\approx~4,33}$

La placa más cercana al punto Q es la placa negativa a una distancia de  4,33  unidades de longitud, aproximadamente.

Distancia entre las placas:

Placa (+)       3x - 2y + 5z + 10 = 0  (mult por +3)       9x - 6y + 15z + 30 = 0

Placa (-)        9x  -  6y  +  15z  -  7  =  0

$\bold{P = \dfrac{|~(-7)~-~ 30~|}{\sqrt{(9)^2~+~(-6)^2~+~(15)^2}}~=~\dfrac{37}{\sqrt{342}}~\approx~2}$

Las placas están separadas entre si  2  unidades de longitud, aproximadamente.