Question

PREGUNTA 3
Un arquitecto recibe un proyecto de la municipalidad de San Luis, para remodelar su parque. La forma del parque, está representado por la ecuación polar r(3-2cosθ)=2.El arquitecto planea construir un camino que une los extremos de la parte más ancha del terreno. Por ello, se requiere obtener las coordenadas de los extremos en coordenadas polares. Para ayudar al arquitecto a lograr su objetivo, se deberá seguir la siguiente estrategia:

Answer 1

a) Pasar la ecuación polar a cartesiana.

Tenemos que:

$r(3-2\cos\theta)=2$

Sustituimos $r = \sqrt{x^2+y^2}$ y  $\cos\theta = \dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2} }$:

$\sqrt{x^2+y^2} (3-\dfrac{2x}{\sqrt{x^2+y^2} }) =2$

$3\sqrt{x^2+y^2}-2x =2$

$(3\sqrt{x^2+y^2})^2 =(2x+2)^2$

$9x^2+9y^2=4x^2+8x+4$

$5x^2+9y^2-8x=4$ → Ecuación General de la elipse

$5x^2-8x+9y^2=4$

Completamos el cuadrado:

$5\left(x-\dfrac{4}{5}\right)^2-\dfrac{16}{5}+9y^2=4$

$5\left(x-\dfrac{4}{5}\right)^2+9y^2=4+\dfrac{16}{5}$

$5\left(x-\dfrac{4}{5}\right)^2+9y^2=7.2$

Dividimos entre 7.2:

$\dfrac{\left(x-\dfrac{4}{5}\right)^2}{7.2/5}+\dfrac{y^2}{7.2/9}=1$

$\boxed{\dfrac{\left(x-0.8\right)^2}{1.44}+\dfrac{y^2}{0.8}=1}$ → Ecuación canónica de la elipse

Hallar los puntos extremos de la parte más ancha del terreno, utilizando la ecuación cartesiana, hallada en a).

Es una elipse que tiene su parte más ancha sobre el eje x, así que para encontrar los puntos extremos hacemos y = 0:

$5x^2-8x+9y^2=4$

$5x^2-8x=4$

$5x^2-8x-4=0$

$x_{1,\:2}=\dfrac{-\left(-8\right)\pm \sqrt{\left(-8\right)^2-4\cdot \:5\left(-4\right)}}{2\cdot \:5}$

$x_{1,\:2}=\dfrac{-\left(-8\right)\pm \:12}{2\cdot \:5}$

$x_1=\dfrac{-\left(-8\right)+12}{2\cdot \:5},\:x_2=\dfrac{-\left(-8\right)-12}{2\cdot \:5}$

$x_1=2,\:x_2=-\dfrac{2}{5}$

R/ Los dos puntos extremos son (-0.4, 0) y (2, 0).

Convertir los puntos extremos encontrados en la parte b) a coordenadas polares.

Convertimos a polares directamente:

• ( -0.4,0) → Un número negativo sobre el eje x tiene ángulo 180° y radio el valor de r = 0.4 →  0.4∠180°
• ( 2,0) → Un número positivo sobre el eje x tiene ángulo 0° y radio el valor de r = 2 →  2∠0°