Question

Pregunta 2: Si A ∈ 〈–5; 10] y B ∈ 〈–3; 15] determina:A – B​

Answer 1

Respuesta:SOLUCIÓN:

a) Dom f = { }

3

x / x 4x 0 ∈ − ≥ ℝ

Descomponemos el polinomio:

x

3

– 4x = x (x – 2) (x + 2)

Sus raíces son x = 0, x = -2, x = 2.

Representándolas en la recta real, dividimos a ésta en cuatro intervalos:

I1 = ( , 2) −∞ − I2 = (-2,0) I3 = (0,2) I4 = (2, ) +∞

Estudiamos el signo de y = x3

– 4x en cada intervalo, considerando un valor cualquiera de cada uno:

o I1 = ( , 2) −∞ − , para x = -3 → y = (-3)3

– 4·(-3) = -27 + 12 < 0 → y < 0

o I2 = (-2,0), para x = -1 → y = (-1)3

– 4·(-1) = -1 + 4 > 0 → y > 0

o I3 = (0,2), para x = 1 → y = 1 – 4 < 0 → y < 0

o I4 = (2, ) +∞ , para x = 3 → y = 33

– 4·3 = 27 – 12 > 0 → y > 0

Por tanto, 3

x 4x 0 − ≥ en los intervalos [-2,0] y 2,+∞)

Dom f = [− ∪ +∞ 2,0 2, ] )

b) Dom g = { }

2

x / x 3x 2 0 ∈ − + ≠ ℝ

x

2

– 3x + 2 = 0 → Descomponiendo en factores: (x – 2)(x – 1) = 0 → sus raíces son: x = 1, x = 2

Por tanto,

Dom g = ℝ −{1,2}

c) Dom h = { } 2x 4 x / x / 2x 4 0 y x 1 0

x 1

−

∈ ∈ = ∈ − ≥ − ≠

−

ℝ ℝ ℝ

2x 4 0 2x 4 x 2

x 1 0 x 1

− ≥ → ≥ → ≥

− ≠ → ≠

→ Por tanto, dom h = 2,+∞)

FUNCIONES 2

2 Dadas las funciones:

f(x) = x 1

x 1

−

+

g(x) = x2

+ 3

a) Hallar las funciones f + g, f · g y f / g, calculando sus respectivos dominios

b) ¿Se cumple que f g g f = ?

SOLUCIÓN:

En primer lugar, calculamos los dominios de las dos funciones f y g:

Dom f = {x / x 1 0 ∈ + ≠ = ℝ } ℝ − −{ 1} Dom g = ℝ

a) ⇒ Función (f + g)

(f + g)(x) = f(x) + g(x) = x 1 2

x 3

x 1

−

+ +

+

Dom (f + g) = Dom f ∩ Dom g = ℝ − −{ 1}

⇒ Función (f ·g)

(f ·g)(x) = f(x) · g(x) = ( ) ( ) ( )

2

x 1 x 1 · x 3 2

· x 3

x 1 x 1

− − + + = + +

Dom (f · g) = Dom f ∩ Dom g = ℝ − −{ 1}

⇒ Función (f / g)

(f /g)(x) = f(x)

g(x)

= ( ) ( )

( ) ( )

2

2

x 1 x 1 : x 3

x 1 x 1 · x 3

− − + = + + +

Dom (f /g) = Dom f ∩ Dom g – {x / g(x) 0 ∈ = = ℝ } ℝ − −{ 1}

b) g f (x) = g(f(x)) =

2 2 2 2

2 2

x 1 x 1 (x 1) 3(x 1) 4x 4x 4 g 3

x 1 x 1 (x 1) (x 1)

− − − + + + + = + = = + + + +

f g(x) = f(g(x)) = f(x2

+ 3) =

2 2

2 2

x 3 1 x 2

x 3 1 x 4

+ − +

=

+ + +

Por tanto, no son igu

Explicación paso a paso: