Question

Pregunta 1.- Dos lunas que orbitan alrededor de un planeta desconocido, describen órbitas circulares concéntricas con el planeta y tienen periodos orbitales de 42 h y 171,6 h. A través de la observación directa, se sabe que el diámetro de la órbita que describe la luna más alejada del planeta es de 2,14·106 km. Despreciando el efecto gravitatorio de una luna sobre la otra, determine:
a) La velocidad orbital de la luna exterior y el radio de la órbita de la luna interior.
b) La masa del planeta y la aceleración de la gravedad sobre su superficie si tiene un diámetro de 2,4·104 km. Dato: Constante de Gravitación Universal, G = 6,67·10-11 N m2 kg-2.
PRUEBA SELECTIVIDAD MADRID CONVOCATORIA JUN 2014-2015 FISICA

Answer 1

Acá te dejo la respuesta para la pregunta 1 de la prueba de selectividad de Madrid convocatoria Jun 2014 - 2015 de Física:

a) La velocidad orbital de la luna exterior y el radio de la órbita de la luna interior. La velocidad en la órbita se obtiene de la siguiente expresión y tomando en consideración que el diámetro mide 2,14.10⁶ km y que la órbita tendrá un radio de 1,07x10⁹ m,

v = ω.r = $\frac{2 \pi r}{T}$
$v = \frac{2 \pi .1,07.10^{9} }{171,6.3600} = 10883\frac{m}{s} = 1,09.10^{4} \frac{m}{2}$

Usando la tercera ley de Kepler:

$\frac{R^{3}ext}{R^{3}int} = \frac{T^{2}ext}{T^{2}int}$
$R^{3}int. T^{2}ext = R^{3}ext. T^{2}int$ 

Despejando obtenemos que:

$Rint = \sqrt[3]{ \frac{ R^{3}ext. T^{2}int }{T^{2}ext } }$

$Rint = \sqrt[3]{ \frac{ (1,07.10^{9} )^{3}. (42.3600)^{2} }{(171,6.3600)^{2} } }$ = 4,19.10⁸ m 

 

b) La masa del planeta y la aceleración de la gravedad sobre su superficie si tiene un diámetro de 2,4·104 km. Dentro de la fuerza centrífuga es igual a la fuerza gravitatoria, por lo tanto:

$m. \frac{ v^{2} }{r} = G. \frac{Mm}{ r^{2} }$

Despejando obtenemos,

$M = \frac{v^{2}.r }{G} = \frac{ (1,09.10^{4} )^{2}.1,07.10^{9} }{6,67.10^{-11} }$ = 1,91.10²⁷ kg 

Conociendo que 1,2.10⁷ es el radio,

$g = \frac{6,67.10^{-11}.1,91.10^{27} }{ (1,2.10^{7} )^{2} } =$ 885 $\frac{m}{ s^{2} }$