Question

Potencia de la unidad imaginaria
Cuál es la potencia de i a la 1000?

Answer 1

Respuesta:

Sabemos que i=\sqrt{-1}i=  

−1

​  

i, equals, square root of, minus, 1, end square root y que i^2=-1i  

2

=−1i, squared, equals, minus, 1.

¿Pero qué pasa con i^3i  

3

i, cubed, i^4i  

4

i, start superscript, 4, end superscript, u otras potencias enteras de iii? ¿Cómo podemos evaluar estas?

Evaluar i^3i  

3

i, cubed y i^4i  

4

i, start superscript, 4, end superscript

¡Las propiedades de los exponentes pueden ayudarnos aquí! De hecho, al calcular potencias de iii, podemos aplicar las propiedades de los exponentes que sabemos que son verdaderas en el sistema de números reales, siempre que los exponentes sean enteros.

Con esto en mente, evaluemos i^3i  

3

i, cubed e i^4i  

4

i, start superscript, 4, end superscript.

Sabemos que i^3=i^2\cdot ii  

3

=i  

2

⋅ii, cubed, equals, i, squared, dot, i. Y puesto que {i^2=-1}i  

2

=−1i, squared, equals, minus, 1, vemos que:

\begin{aligned} i^3 &= {{i^2}}\cdot i\\ \\ &={ (-1)}\cdot i\\ \\ &= \purpleD{-i} \end{aligned}  

i  

3

 

​  

 

=i  

2

⋅i

=(−1)⋅i

=−i

​  

 

Similarmente i^4=i^2\cdot i^2i  

4

=i  

2

⋅i  

2

i, start superscript, 4, end superscript, equals, i, squared, dot, i, squared. Nuevamente, por el hecho de que {i^2=-1}i  

2

=−1i, squared, equals, minus, 1, tenemos que:

\begin{aligned} i^4 &= {{i^2\cdot i^2}}\\ \\ &=({ -1})\cdot ({-1})\\ \\ &= \goldD{1} \end{aligned}  

i  

4

 

​  

 

=i  

2

⋅i  

2

 

=(−1)⋅(−1)

=1

​  

 

Otras potencias de iii

¡Sigamos adelante! Evaluemos las siguientes 444 potencias de iii con un método similar.

\begin{aligned} i^5 &= {i^4\cdot i}&&{\gray{\text{Propiedades de los exponentes}}} \\\\ &=1\cdot i&&{\gray{\text{Ya que }i^4=1}} \\\\ &= \blueD i \\\\ \\\\ i^6 &= {i^4\cdot i^2}&&{\gray{\text{Propiedades de los exponentes}}} \\\\ &=1\cdot (-1)&&{\gray{\text{Ya que }i^4=1\text{ e }i^2=-1}} \\\\ &=\greenD{-1} \\\\ \\\\ i^7 &= {i^4\cdot i^3}&&{\gray{\text{Propiedades de los exponentes}}} \\\\ &=1\cdot (-i)&&{\gray{\text{Ya que }i^4=1\text{ e }i^3=-i}} \\\\ &=\purpleD{-i} \\\\ \\\\ i^8 &= {i^4\cdot i^4}&&{\gray{\text{Propiedades de los exponentes}}} \\\\ &=1\cdot 1&&{\gray{\text{Ya que }i^4=1}} \\\\ &=\goldD 1 \end{aligned}  

i  

5

 

i  

6

 

i  

7

 

i  

8

 

​  

 

=i  

4

⋅i

=1⋅i

=i

=i  

4

⋅i  

2

 

=1⋅(−1)

=−1

=i  

4

⋅i  

3

 

=1⋅(−i)

=−i

=i  

4

⋅i  

4

 

=1⋅1

=1

​  

 

​  

 

Propiedades de los exponentes

Ya que i  

4

=1

Propiedades de los exponentes

Ya que i  

4

=1 e i  

2

=−1

Propiedades de los exponentes

Ya que i  

4

=1 e i  

3

=−i

Propiedades de los exponentes

Ya que i  

4

=1

​  

 

La tabla muestra un resumen de los resultados.

i^1i  

1

i, start superscript, 1, end superscript i^2i  

2

i, squared i^3i  

3

i, cubed i^4i  

4

i, start superscript, 4, end superscript i^5i  

5

i, start superscript, 5, end superscript i^6i  

6

i, start superscript, 6, end superscript i^7i  

7

i, start superscript, 7, end superscript i^8i  

8

i, start superscript, 8, end superscript

Explicación paso a paso: