Question

Porfavor una ayudita para el prójimo :"D o al menos una idea de cómo resolverlo plis

Answer 1

Respuesta:

La ecuacion de la recta tangente para x=0 es:

$\Large{\boxed{y=1,8660x+0.8660}}$

en la imagen se encuentra la grafica de la función dada y la recta tangente en el punto x=0

Explicación paso a paso:

$f(x)=e^x(sen(2x+\pi /3)+3x^2)$

para calcular la pendiente de la recta tangente primero se debe obtener la derivada de la función dada.

a la función vamos a aplicar la derivada del producto de 2 términos , donde los términos son:

termino 1:

$e^x$

termino 2:

$sen(2x+\pi /3)+3x^2$

se va a hacer asi:
la derivada del primer termino multiplicado por el segundo termino mas la derivada del segundo termino multiplicada por el primer termino.

aplicando lo anterior se obtiene:

$f'(x)=e^x(sen(2x+\pi /3)+3x^2)+e^x(cos(2x+\pi /3)*2+6x)$

como se debe calcular la pendiente cuando x=0, entonces evaluaremos la funcion en dicho valor:

$f'(x)=e^x(sen(2x+\pi /3)+3x^2)+e^x(cos(2x+\pi /3)*2+6x)$

$f'(0)=e^0(sen(2(0)+\pi /3)+3(0)^2)+e^0(cos(2(0)+\pi /3)*2+6(0))$

$f'(0)=1(sen(\pi /3)+0)+1(cos(\pi /3)*2+0)$

$f'(0)=sen(\pi /3)+2cos(\pi /3)$

$f'(0)=\dfrac{\sqrt{3} }{2} +2 \times 0,5$

$f'(0)=\dfrac{\sqrt{3} }{2} +1$

$f'(0)=0,8660+1$

$f'(0)=1,8660$

por lo que la pendiente de la recta será 1,8660

la recta tiene la forma:

$y=mx+b$

donde m=1.8660

reemplazando nos queda:

$y=1,8660x+b$

el valor de b corresponde a calcular el valor de y en la funcion original, esto es:

$f(x)=e^x(sen(2x+\pi /3)+3x^2)$

$b=f(0)=1(sen(\pi /3)+0)$

$b=f(0)=sen(\pi /3)$

$b=f(0)=\dfrac{\sqrt{3} }{2}$

$b=\dfrac{\sqrt{3} }{2}$

$b=0.8660$

reemplazando en la ecuación de la recta tenemos:

$y=1,8660x+b$

$\Large{\boxed{y=1,8660x+0.8660}}$