Question

porfavor, $\int\limits^2_1 {x} (4x^{2}+1 )^{3} \, dx$¿como se resuelven este tipo de integrales?

Answer 1

Se calcula la integral indefinida:
$\int \:x\left(4x^2+1\right)^3dx$
Se aplica integración por sustitución:
$=\int \frac{u^3}{8}du$
Se saca la constante y se aplica la regla de la potencia:
$=\frac{1}{8}\cdot \frac{u^{3+1}}{3+1}$
Se aplica a la ecuación, se simplifica y se agrega una constante:
$=\frac{1}{32}\left(4x^2+1\right)^4+C$
Se calculan los límites:
$\lim _{x\to \:1+}\left(\frac{1}{32}\left(4x^2+1\right)^4\right)$
$=\frac{625}{32}$
y
$\lim _{x\to \:2-}\left(\frac{1}{32}\left(4x^2+1\right)^4\right)$
$=\frac{83521}{32}$
Por lo tanto:
$=\frac{83521}{32}-\frac{625}{32}$
$=\frac{5181}{2}$