Question

Porfavor cómo resuelvo estas ecuaciones irracionales???
a. $\sqrt{5-x} +1=-x$ (El +1 está fuera de la raíz)
b. $x- \sqrt{7-3x} =1$
c. $x- \sqrt{2x-1} =2 (x-4)$
d. $\sqrt{5x-7} - \sqrt{1-x} = 0$
e. $\sqrt{x^2+x} - \sqrt{x+1}=0$
f. $\sqrt{x^2-4} = \frac{x}{2} -1$
Muchas gracias.

Answer 1

La idea en ecuaciones donde aparece la incognita x y también su raiz es elevar al cuadrado la ecuación y así, llevarla a una ecuación cuadrática, bicuarática, etc. que podés resolver usando bhaskara. Resuelvo dos ecuaciones a modo de ejemplo y te dejo que vos resuelvas las otras como ejercicio.

$<strong>a.</strong> \\ \sqrt{5-x} +1 = -x \\ \sqrt{5-x} = -x-1 \\ (\sqrt{5-x})^2 = (-x-1)^2 \\ |5-x|= (-x-1)^2 \\ |5-x|= (-(x+1))^2 \\ |5-x|=(-1)^2 (x+1)^2 \\ |5-x|= (x+1)^2 =x^2 + 2x +1$
Llegado a este punto, debemos separar en dos casos: cuando x>5 y x<5. Es decir, 
$x\ \textgreater \ 5: \\ |5-x| = -(5-x) =x-5$

⇒ $x-5= x^2 + 2x +1 \\ 0=x^2+x+6$

Mediante bhaskara obtenemos sus raices, que serán
$x = - \frac{1}{2} i (sqrt(23) - i)\\ x=\frac{1}{2} i (sqrt(23) + i)$

De la misma forma, obtenemos sus raices para x<5,
$x\ < \ 5: \\ |5-x| = (5-x) =5-x$

⇒ $5-x= x^2 + 2x +1 \\ 0=x^2+3x-4$

que tiene raices
x=-4
x=1

Finalmente la solución a la ecuación será
$x=\left \{ {{- \frac{1}{2} i (sqrt(23) - i) \ y\ \frac{1}{2} i (sqrt(23) + i)\ si\ x\ \textgreater \ 5} \atop {-4\ y\ 1\ si\ x\ \textless \ 5}} \right.$

Nota:Si la idea del ejercicio era resolverlo en el campo de los números reales, entonces la solución simplemente es $x=4\ y\ x=-1\ x<5$
. Y para x>5, la ecuación no tiene solución real.

Voy a proceder a resolver ahora, la segunda ecuación directamente en el campo de los reales.

b. Notamos primero que esta ecuación no tiene solución en los reales para $7-3x <0$  es decir, para $\frac{7}{3}<x$ . Luego para x>7/3, la solución será
$x- \sqrt{7-3x} =1\\ x-1=\sqrt{7-3x} \\(x-1)^2 =(\sqrt{7-3x})^2 \\ (x-1)^2= 7-3x \\ x^2 -2x +1 = 7-3x \\ x^2 +x -6 = 0$

cuyas raíces son
$x=2\ y\ x=-3$

Luego la solución a la segunda ecuación en el campo real es x=2 y x=-3 si x>7/3, y no tiene solución si x<7/3.

Finalmente, notar que todas las ecuaciones van a tener que ser llevadas a ecuaciones cuadráticas y por lo tanto va a haber dos soluciones en cada ecuación a menos que la raíz tenga multiplicidad doble.