Matemáticas, pregunta formulada por ninelcabada, hace 4 meses

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Adjuntos:

Respuestas a la pregunta

Contestado por Deskorazonado

Saberes previos antes de resolver :

Que es el cardinal que un conjunto?

Es la cantidad de elementos de dicho conjunto :

Se denota así : n(A) :

Cardinal del conjunto ´´A´´

Ejemplo :

Sea el conjunto A : [1,3,5,7,9]

Su cardinal es 5, ya que hay 5 elemento diferentes.

Conjunto potencia :

El conjunto potencia, son las diferentes combinaciones que toma un conjunto para formar otro conjunto más grande.

el conjunto potencia se denota así : P(A)

: Conjunto potencia de ´´A´´

Ejemplo :

Halle el conjunto potencia de A:[5,3,2,6]

Todas las combinaciones : (5;3); (3;2) ; (2;6) ; (5;2) ;(3;6) ; (5;6) ; (5;3;2) ; (3;2;6) ; (5;2;6) ; (5;3;6) ; (5;3;2;6) 5 ; 3 ; 2 ; 6

La cantidad de elemento de un conjunto potencia se halla con la siguiente fórmula : $(2)^{n(A) }$

El numero ´´2´´ elevado al cardinal del conjunto ´´A´´.

en el caso anterior :

el cardinal es 4 (tiene 4 elementos) .

La cantidad de elemento del conjunto potencia de A es :

Cuantos elementos hay ?

$2^{4}$ = 16 ; hay 16 elemento en el conjunto potencia de ´´A´´

Ustedes estarán diciendo :

Profe, yo eh contado todos los elementos del conjunto potencia de ´´A´´ y solo eh contado que hay 15 elemento.

Tienen razón, pero que ocurre, en el conjunto potencia de cualquier conjunto, siempre estará incluido, algo llamado ´´Vacío´´

o ´´conjunto vacío´´ que se denomina así : ∅

Ese es el elemento que le faltó contar.

Usualmente no se suele poner en los conjuntos potencia, pero se sobre entiende que está ahí.

AHORA RESOLVIENDO EL PROBLEMA :

Tenemos 2 conjuntos donde uno está incluido en el otro.

Supongamos sean el conjunto A, y el conjunto B

y que el conjunto ´´B´´ esté incluido en el conjunto ´´A´´.

Que quiere decir que un conjunto esté incluido en otro?

quiere decir que todos los elementos del conjunto ´´B´´, también le pertenecen al conjunto ´´A´´ (todos su elementos´´.

ejemplo : Se el conjunto ´´T´´ y el conjunto ´´W´´

donde el conjunto ´´W´´ este incluido en el conjunto ´´T´´

Además se sabe los elementos de T Y W :

T : [1;2;3;4;5;6;7;8)

W : [2;4;6;8]

A simple vista se nota que el conjunto ´´W´´ esta dentro de ´´T´´ ya que

todos sus elementos también le pertenece a ´´T´´.

REGRESANDO AL PROBLEMA .... :

Tenemos dos conjuntos donde uno esta incluido en el otro, además la diferencia de sus cardenales es 112.

EL CONJUNTO A : Tiene ´´x´´ elementos

EL CONJUNTO B : Tiene ´´y´´ elementos

pero sabemos que todos los elementos del conjunto ´´B´´ están en A, entonces :

n(A) = X

n(B) = Y

pero ´´x´´ es igual al cardinal de ´´B´´ + cierta cantidad de elementos que ´´B´´ no tiene (llamémoslo ´´Z´´).

X= Y+ Z

En el problema nos dicen :

La diferencia de sus cardenales de sus conjuntos potencia, que significa ´´diferencia´´ , es resta.

Cardinal A = Y + Z

Cardinal B = Y

Conjunto potencia de ambos :

P(A) = $2^{(y+z)}$

P(B)= $2^{(y)}$

La diferencia de ellos dos :

$2^{(y+z)}$ - $2^{(y)}$ = 112 ----------> $2^{(y)}$ ( $2^{Z}$ - 1) =112 ----> $2^{(y)}$ ( $2^{Z}$ - 1) = 2 × 56

$2^{(y)}$ ( $2^{Z}$ - 1) = 2 × 2 × 28 ---------> $2^{(y)}$ ( $2^{Z}$ - 1) = 2 × 2 × 2 × 14

$2^{(y)}$ ( $2^{Z}$ - 1) = 2 × 2 × 2 × 14 -----------> $2^{(y)}$ ( $2^{Z}$ - 1) = 2 × 2 × 2 × 2 × 7

$2^{(y)}$ ( $2^{Z}$ - 1) = 2 × 2 × 2 × 2 × 7 -----> $2^{(y)}$ ( $2^{Z}$ - 1) = $2^{4}$ × 7

Por simple vista se nota que ´´ $2^{(y)}$ ´´siempre va salir un numero que sea múltiplo de 2 , mientras que dentro del paréntesis , no importa que valor tome ´´Z´´ al restar con ´´-1´´ cambiará a otro que no será múltiplo de ´´2´´ , aun así, debemos hacer que lo que está dentro del paréntesis encaje con el 7 que tengo, como lo haría?

$2^{(y)}$ ( $2^{Z}$ - 1) = $2^{4}$ × 7 -----> $2^{(y)}$ ( $2^{Z}$ - 1) = $2^{4}$ × ( $2^{3} -1$ )