Question

Porfa es aritmetica ayuda
Con su solución

Answer 1

Para el valor de n en el cual $6^n$ tiene más divisores que $7^n$, $12^n$ tiene 66 divisores.

Explicación paso a paso:

Tenemos que hallar las leyes de variación en función de n que sique la cantidad de divisiones de cada potenciación propuesta. Tenemos que para $7^n$ es:

$div\{7\}=\{1,7\}\\div\{7^2\}=\{1,7,49\}\\div\{7^3\}=\{1,7,49,343\}\\div\{7^n\}=\{1,...,7^{n-1},7^n\}$

Con lo cual $7^n$ tiene n+1 divisores, para el 6 tenemos:

$div\{6\}=\{1,2,3,6\}\\div\{6^2\}=\{1,2,3,4,6,9,12,18,36\}\\div\{6^3\}=\{1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,27,36,54,72,108,216\}$

De donde obtenemos que los divisores de $6^n$ siguen la progresión 4,9,16,25,36... Por lo que puede decirse que la ley de variación es: $(n+1)^2$

Ahora para que $6^n$ tenga más divisores de $7^n$ tiene que cumplirse:

$n+1+30=(n+1)^2\\n+31=n^2+2n+1\\\\n^2+n-30=0$

Con lo que resolvemos la ecuación cuadrática:

$n=\frac{-1\ñ\sqrt{1+4.30}}{2}=5$

Y en efecto $6^5$ tiene 36 divisores mientras que $6^5$ tiene 6 divisores.

Si hallamos entonces los divisores de [tex]12^{5}[/tex] que es 248832 veremos que tiene 66 divisores.