Question

Por q pi es un numero irracional

Answer 1

Demostración de π es irracional

Lema=

Sea f(x) perteneciente a Z[x]

Sea n perteneciente a los enteros

Sea c perteneciente a Z

Definimos la función ψ como

~

ψ(x)= (x-c)^n f(x)

~

ψ (c)^(j) =0 si j<n

~

ψ(c)^(i) es múltiplo de j! si j es mayor o igual que n

Primero defininamos que π es racional

π=a/b

De la función F(x)=( x^n (a-bx)^n )/n!

sea f(x)= (a-bx)^n con c=0

Entonces F^(j) (0) es un entero para todo j

Por ende

F(x)=F(π-x)

F^(j) (π)= entero

Entonces integramos la siguiente ecuación con los limites de integración de 0 a π

I=Integral de 0 a π de f(x) senx dx

0<I<1

Definimos la funcione G(x)

G(x)= F(x)- F``(x)+F^4 (x) -......+ F^(2n) (x)

G``(x)=F``(x)-F^4 (x)+...G(x)+ G``(x)=F(x)

Volvemos a la integral

I=la integral de 0 a π de F(x) senx dx=

=la integral de 0 a π de G(x) senx G``(x) senx dx=
= G(x) senx G``(x) senx evaluada desde 0 a π

=G(π)+G(0)

esto un número racional

Sea y(x)=x(π-x) en el intervalo (0,π)

F(x)=F(π-x)= (b^n x^n (π-x)^n )/n!

toma la forma de

0<F(x)< b^n/n! π^(2n)/2^(2n)

I= la integral de 0 a π F(x) senx dx

Entonces concluimos que los valores de I

0<I<π (b^n π^(2n))/n! 2^(2n)

Por lo tanto π no es racional

π es irracional

Por lo tanto no se puede expresar como a/b

Saludos!JBarnett