POR METODO DE GAUSS RESOLVER EL SIGUIENTE EJERCICIO: una dietista de un hospital va a diseñar una dieta especial utilizando tres alimentos básicos. El número de unidades por onza de cada ingrediente especial para la comida A son 30 de calcio, 10 de hierro y 10 de vitamina A. Para la comida B son 10 de calcio, 10 de hierro y 30 de vitamina A. Para la comida C se requiere 20 unidades de cada ingrediente. La dieta es para incluir exactamente 340 unidades de calcio, 180 unidades de hierro y 220 unidades de vitamina A. Lo que tengo que hacer es: Construye una matriz donde almacenes la información que se te presenta. Plantea un sistema de ecuaciones lineales que cumpla los requerimientos. Responde a las preguntas planteadas.
30x+10y+20z=340
10x+10y+20z=180
10x+30y+20z=220
Respuestas a la pregunta
A B C
30x + 10y + 20z = 340 -- > R1
10x + 10y + 20z = 180 -- > R2
10x + 30y + 20z = 220 -- > R3
R1, R2 y R3 hace alusión a Primer renglón, segundo renglón y tercer renglón respectivamente, en el método de Gauss se pretende dejar una forma escalonada, dejando prácticamente una matriz triangular superior (hay puros ceros debajo de la diagonal), en este caso la diagonal es 30x + 10y + 20z, por lo que debemos hacer que en 10x, 10z y 30y aparezcan ceros.
Empezamos:
Al tercer renglón le restas 1/3 del primer renglón:
30x + 10y + 20z = 340
10x + 10y + 20z = 180
(10x - 10x) + (30y - 10/3 y) + (20z - 20/3 z) = 220-340/3
Queda:
30x + 10y + 20z = 340
10x + 10y + 20z = 180
0 x + 80/3 y + 40/3 z = 320/3
Por facilidad te recomiendo lo siguiente, como ya se logró el objetivo de dejar el 0 ahí, lo que hagas con ese renglón, sea multiplicar o dividir, no cambiará el hecho de que siga el 0, por lo que bien puedes multiplicar por 3 y sacar un factor común para seguir simplificando, por ejemplo multiplicando el renglón 3 por 3:
30x + 10y + 20z = 340
10x + 10y + 20z = 180
0x + 80 y + 40 z = 320
Ahora, divides entre 40 ese renglón 3:
30x + 10y + 20z = 340
10x + 10y + 20z = 180
0x + 2y + z = 8
Si te das cuenta, pudimos haber puesto toda la operación conjunta como:
R3 -- > 3/40(R3 - 1/3 R1)
Pero como nos tardamos en entender esta parte, lo hice paso a paso, por eso nos salió algo bastante largo.
En fin, ahora vamos a hacer lo mismo con R2:
Al segundo renglón le restas 1/3 del primero:
30x + 10y + 20z = 340
(10x - 10x) + (10y - 10/3 y) + (20z - 20/3 z) = 180 -340/3
0x + 2y + z = 8
30x + 10y + 20z = 340
0x + 20/3 y + 40/3 z = 200/3
0x + 2y + z = 8
Multiplicas por 3 el segundo renglón:
30x + 10y + 20z = 340
0x + 20y + 40z = 200
0x + 2y + z = 8
Al segundo renglón lo divides entre 20:
30x + 10y + 20z = 340
0x + y + 2z = 10 -- > R2
0x + 2y + z = 8 -- > R3
Nos falta poner un 0, para eso ocupamos R2 y R3.
Al R3 le restas 2 veces R2:
30x + 10y + 20z = 340
0x + y + 2z = 10
(0x - 0x) + (2y - 2y) + (z - 4z) = 8 - 20
30x + 10y + 20z = 340
0x + y + 2z = 10
0x + 0y - 3z = - 12
Al tercer renglón lo divides entre - 3:
30x + 10y + 20z = 340
0x + y + 2z = 10
0x + 0y + z = 4
Y lo que obtuvimos es lo que nos piden, en la forma escalonada de Gauss vas resolviendo tal cual vas subiendo en las escaleras, en este caso, si nos situamos en el tercer renglón veremos que z = 4.
En el segundo renglón:
y = 10 - 2z
y = 10 - 2(4)
y = 2
Y en el primer renglón:
30x = 340 - 10(2) - 20(4)
30x = 340 - 20 - 80
30x = 240
x = 240÷30
x = 8
Ahora bien, las cantidades de cada cosa que tiene que tener A y B serían sumarlas:
En A habrá 30(8) unidades de Calcio
En B habrá 10(2) unidades de Calcio
En C habrá 20(4) unidades de Calcio
En A habrá 10(8) unidades de Hierro
En B habrá 10(2) unidades de Hierro
En C habrá 20(4) unidades de Hierro
En A habrá 10(8) unidades de vitamina C
En B habrá 30(2) unidades de vitamina C
En C habrá 20(4) unidades de vitamina C