Question

Por favor todos los incisos o solo el inciso 2 con explicaciones, gracias

Answer 1

Respuesta:

Para el inciso 1 usamos el método de discos y para los incisos 2 y 3 el método de anillos. En todos los casos usaremos rectángulos diferenciales verticales e integraremos con respecto a la variable x.

Explicación:

A.- Inciso 1: eje y = -1

Método de discos: $V=\pi \int\limits^a_b {(R^{2} -r^{2}) } \, dx$

R = Radio mayor

r = Radio menor

1.- En la figura identificada como eje y - 1, se puede observar que ambos radios consisten de la suma de una cantidad fija, la distancia entre el eje x y el eje y = -1; es decir distancia = 1, y una cantidad variable definida por cada una de las ecuaciones de las gráficas.

$R=\sqrt{8x}+1$

$r=x^{2} +1$

2.- Los límites de integración (a, b) son los extremos de la región encerrada por las curvas en el eje x; es decir, (0, 2)

3.- El volumen viene dado por

$V=\pi \int\limits^2_0 {((\sqrt{8x}+1 )^{2} -(x^{2}+1 )^{2}) } \, dx=\frac{224\pi }{15}Unidades de volumen$

B.- Inciso 2: eje x = 2

Método de anillos: $V=2\pi \int\limits^a_b {p_{(x)} h_{(x)} } \, dx$

p = Radio promedio

h = Altura del rectángulo diferencial

1.- En la figura identificada como eje x +2, se puede observar que el radio consiste de la diferencia de una cantidad fija, la distancia entre el eje x = 2 y el eje y; es decir distancia = 2, y una cantidad variable definida por la distancia del rectángulo diferencial al origen, en este caso al eje y, llamada simplemente x.

$p_{(x)}=2-x$

$h_{(x)} =\sqrt{8x} -x^{2}$

2.- Los límites de integración (a, b) son los extremos de la región encerrada por las curvas en el eje x; es decir, (0, 2)

3.- El volumen viene dado por

$V=2\pi \int\limits^2_0 {(2-x)} }({\sqrt{8x}-x^{2}}) } \, dx=\frac{88\pi }{15}Unidades de volumen$

C.- Inciso 3: eje x = -1

Método de anillos: $V=2\pi \int\limits^a_b {p_{(x)} h_{(x)} } \, dx$

p = Radio promedio

h = Altura del rectángulo diferencial

1.- En la figura identificada como eje x -1, se puede observar que el radio consiste de la suma de una cantidad fija, la distancia entre el eje x = -1 y el eje y; es decir distancia = 1, y una cantidad variable definida por la distancia del rectángulo diferencial al origen, en este caso al eje y, llamada simplemente x.

$p_{(x)}=1+x$

$h_{(x)} =\sqrt{8x} -x^{2}$

2.- Los límites de integración (a, b) son los extremos de la región encerrada por las curvas en el eje x; es decir, (0, 2)

3.- El volumen viene dado por

$V=2\pi \int\limits^2_0 {(1+x)} }({\sqrt{8x}-x^{2}}) } \, dx=\frac{152\pi }{15}Unidades de volumen$