Question

Por favor me pordrian ayudar con esto:

Evaluar las 2 siguientes integrales impropias si convergen o divergen:

Answer 1

1)

$\displaystyle I=\int\limits_{\sqrt{3}}^{+\infty}\dfrac{3}{x^2+9}dx\\ \\ \\ I=\left.\arctan\left(\dfrac{x}{3}\right)\right|_{\sqrt{3}}^{+\infty}\\ \\ \\ I=\lim\limits_{x\to+\infty}\arctan\left(\dfrac{x}{3}\right)-\arctan\left(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\right)\\ \\ \\ \texttt{Note que la FUNCI\'ON }\arctan\texttt{ tiene como imagen }\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)\\\texttt{por ende:}\\ \\ \\ I=\dfrac{\pi}{2}-\dfrac{\pi}{6}\\ \\ \\ \boxed{I=\dfrac{\pi}{3}}$


2)

$\displaystyle I=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{dx}{x^2+2x+1}\\ \\ \\ I=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{dx}{(x+1)^2+1}\\ \\ \\ I=\left.\arctan(x+1)\right|_{-\infty}^{+\infty}\\ \\ \\ I=\lim\limits_{x\to+\infty}\arctan x-\lim\limits_{x\to-\infty}\arctan x\\ \\ \\ I=\dfrac{\pi}{2}-\left(-\dfrac{\pi}{2}\right)\\ \\ \\ \boxed{I=\pi}$