por favor me podrían ayudar con estos dos problemas , el tema es líneas notables.
Respuestas a la pregunta
Respuestas: 03) 130º es el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos ∠A y ∠C 04) 60º es la medida del ángulo ∠BAC
Explicación paso a paso:
03) En un triángulo acutángulo ABC, la medida del ángulo B es de 80º. Calcule la medida del ángulo que forman las bisectrices interiores de los ángulos ∠A y ∠C.
Respuesta 03) 130º es el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos ∠A y ∠C
Una bisectriz de un triángulo es el segmento que divide uno de sus ángulos interiores en dos partes iguales y se prolonga hasta llegar al lado opuesto a ese ángulo. A cada ángulo interior del triángulo le corresponde una bisectriz. El punto donde interseccionan las bisectrices se llama incentro (I) (ver gráfico adjunto)
Sabemos que la suma de los ángulos interiores de cualquier triángulo es 180º.
El ángulo que forman las bisectrices de los ángulos ∠A y ∠C (en rojo en el gráfico adjunto) es el ángulo ∠Xº. El triángulo AIC tiene 180º sumando ∠Xº con el ángulo ∠a que es la mitad de ∠A y con el ángulo ∠c que es la mitad de ∠C.
Expresando esto algebraicamente tenemos:
180º = ∠Xº + ∠a + ∠c } Ecuación 1
Al mismo tiempo el triángulo ABC tiene 180º sumando 80º + ∠2a + ∠2c.
Expresando esto algebraicamente tenemos:
180º = 80º + ∠2a + ∠2c } Ecuación 2
∠2a + ∠2c = 180º - 80º
∠2a + ∠2c = 100º
Dividimos todos los términos entre 2:
∠a + ∠c = 100º/2 = 50º
Ahora sustituimos este valor calculado de ∠a + ∠c en la ecuación 1:
180º = ∠Xº + ∠a + ∠c } Ecuación 1
180º = ∠Xº + 50º
∠Xº = 180º - 50º = 130º , valor de ∠Xº que es el ángulo buscado
Respuesta 03) 130º es el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos ∠A y ∠C
04) Grafique el triángulo ABC y trace la altura BH. Luego la bisectriz BF del ángulo ∠HBC, si: AB = BF, calcular la medida del ángulo ∠BAC.
Respuesta 04) 60º es la medida del ángulo ∠BAC
Tenemos el triángulo rectángulo ABC, siendo al ángulo recto ∠B = 90º , significa que ∠A + ∠C = 90º ↪ ∠A = 90º - ∠C
Trazamos la altura BH y la bisectriz BF de ∠HBC, entonces tenemos el triángulo rectángulo BHC y el ángulo ∠C = 90 - ∠HBC
También tenemos el triángulo BFH y el ángulo ∠BFH = 90º - ∠HBC/2 (I)
También tenemos el triángulo BAH y el ángulo ∠BAH = 90º - (90º -∠HBC) = ∠HBC
Si AB es igual a BF quiere decir que forman parte de un triángulo isósceles y sabemos que los ángulos opuestos a sus lados iguales también miden lo mismo, así que el ángulo ∠BFH es igual al ángulo buscado ∠BAC que es igual al ángulo ∠BAH
Entonces tenemos ∠BFH = 90º - ∠HBC/2 (I)
y aquí podemos sustituir ∠HBC = ∠BFH = ∠BAC
∠BAC = 90º - ∠BAC/2 (I)
∠BAC + ∠BAC/2 = 90º
(∠2BAC + ∠BAC)/2 = 90º
∠3BAC/2 = 90º
∠BAC = 90º x 2/3 = 180º/3 = 60º , que es el ángulo buscado
Respuesta 04) 60º es la medida del ángulo ∠BAC
Respuestas: 03) 130º es el ángulo que forman las bisectrices de los ángulos ∠A y ∠C 04) 60º es la medida del ángulo ∠BAC
[Ver gráficos adjuntos]
Michael Spymore
