Question

por favor es urgente necesito saber que pasa en este limite que tiende a 0 ya intente hacerlo por medio de métodos normales cuando se resuelve un limite con valor absoluto pero necesito saber porque es diferente ya lo resolví por medio de programas de computo y la respuesta que me da es que el limite es 2 pero necesito saber ¿por qué?

el limite lo dejo en archivo pdf adjunto.

b831259ec005cc9f874888a817d40fd0.pdf

Answer 1

Generalmente cuando en un límite hay la presencia de valores absolutos, como en este caso, es necesario apoyarse en la definición de límites laterales para explicar porque el límite es 2

Explicación paso a paso:

La definición de límite implica necesariamente que su existencia solo es posible si los límites laterales son iguales.

La noción de límite lateral refiere al comportamiento de la función alrededor del valor de tendencia de la variable independiente. Centrados en ese valor, se estudia el comportamiento a la izquierda y a la derecha y se espera que estos sean iguales, por unicidad del límite.

El problema planteado:

$\lim_{x \to 0} \frac{ValorAbs(x+1)-ValorAbs(x-1)}{x}$

se debe estudiar centrado en    x  =  0    

Límite lateral por la izquierda:

$\lim_{x \to 0^{-}} \frac{ValorAbs(x+1)-ValorAbs(x-1)}{x}=\lim_{h \to 0^{+} } \frac{ValorAbs(0-h+1)-ValorAbs(0-h-1)}{0-h}=$

Al aplicar la definición de Valor Absoluto:

$ValorAbs(0-h+1)=1-h$    que representa el valor positivo de la cantidad en el Valor Absoluto

$ValorAbs(0-h-1)=1+h$    que representa el valor positivo de la cantidad en el Valor Absoluto, por lo tanto,

$\lim_{h \to 0^{+} } \frac{1-h-(h+1)}{-h}=\lim_{h \to 0^{+} } \frac{-2h}{-h}=2$

Límite lateral por la derecha:

$\lim_{x \to 0^{+}} \frac{ValorAbs(x+1)-ValorAbs(x-1)}{x}=\lim_{h \to 0^{+} } \frac{ValorAbs(0+h+1)-ValorAbs(0+h-1)}{0+h}=$

Al aplicar la definición de Valor Absoluto:

$ValorAbs(0+h+1)=1+h$    que representa el valor positivo de la cantidad en el Valor Absoluto

$ValorAbs(0+h-1)=1-h$    que representa el valor positivo de la cantidad en el Valor Absoluto, por lo tanto,

$\lim_{h \to 0^{+} } \frac{1+h-(1-h)}{h}=\lim_{h \to 0^{+} } \frac{2h}{h}=2$

Como se observa los límites laterales existen y ambos dan como resultado 2, por lo que se puede concluir que:

$\lim_{x \to 0} \frac{ValorAbs(x+1)-ValorAbs(x-1)}{x}=2$