Question

por favor ayúdenme
Resuelva gráficamente lo siguiente: obtener los puntos y montos óptimos
Minimizar F(x) = -2x -4y
s.a. 2x + 3y ≤ 7
8y ≤ 4
x ≥ 0 ; y ≥ 0

Answer 1

【Rpta.】El punto (2.75 , 0.5) minimiza la función.

                                  $\green{{\hspace{50 pt}\above 1.2pt}\boldsymbol{\mathsf{Procedimiento}}{\hspace{50pt}\above 1.2pt}}$

El problema nos pide resolver gráficamente, por ello lo primero que realizaremos será graficar todas nuestras restricciones en un sistema de ejes coordenados.

➫ Para 2x + 3y  7 obtenemos dos puntos

         $\hspace{-60pt} \sf{\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\: Cuando\ x = 0}\hspace{100pt} \sf{\boldsymbol{\bigcirc \kern-8pt \triangleright} \:\: Cuando\ y = 0}\\\\\begin{array}{c}\sf{2x + 3y \leq 7}\\\\\sf{2(0) + 3y = 7}\\\\\sf{ 3y = 7}\\\\\sf{y = 7/3}\\\\\blue{\boxed{\sf{y \approx 2.333}}}\\\\\red{\sf{(0,2.33)}}\end{array} \hspace{80pt}\begin{array}{c}\sf{2x + 3y \leq 7}\\\\\sf{2x + 3(0) = 7}\\\\\sf{ 2x = 7}\\\\\sf{x = 7/2}\\\\\blue{\boxed{\sf{y =3.5}}}\\\\\red{\sf{(3.5,0)}}\end{array}$

➫ Para 8y ≤ 4 despejamos y

                                                          $\begin{array}{c}\sf{8y \leq 4}\\\\\sf{y \leq \dfrac{4}{8}}\\\\\sf{y \leq \dfrac{1}{2}}\\\\\blue{\boxed{\sf{y \leq 0.5}}}\\\\\end{array}$

➫ Y por último tenemos las restricciones de no negatividad.

Todas las gráficas lo dejo en la imagen

Nuestro conjunto solución se encontrará en el área que está pintado de color verde, y para minimizar necesitamos hallar los vértices

✅ Punto A

Se observa de la gráfica que es (0 , 0.5)

✅ Punto B

Es la intersección de las 2 restricciones, determinaremos este punto convirtiendo las dos ecuaciones a un sistema linea

                                              $\begin{array}{cc}\sf{2x + 3y = 7}&\sf{(ecu 1)}\\\\\sf{y = 0.5}&\sf{(ecu 2)}\\\\\sf{Sustituimos}\\\\\sf{2x + 3y = 7}\\\\\sf{2x + 3(0.5) = 7}\\\\\sf{2x + 1.5 = 7}\\\\\sf{\boxed{\sf{x =2.75}} }\\\\\end{array}$        

El punto B es (2.75 , 0.5)

✅ Punto C

Es el intercepto de la primera restricción con el eje x, ya lo calculamos y es (3.5 , 0)

Evaluamos estos puntos en la función objetivo

$\begin{array}{lcl}\sf{Punto\ A: (0,0.5)} &\sf{\rightarrow} & \sf{F(x,y) =-2x - 4y =-2(0)-4(0.5) = -2 }\\\\\sf{Punto\ B: (2.75,0.5)} & \sf{\rightarrow }&\sf{F(x,y) =-2x - 4y =-2(2.75)-4(0.5) = \green{-7.5}}\\\\\sf{Punto\ C: (3.5,0)} & \sf{\rightarrow} & \sf{F(x,y) =-2x - 4y =-2(3.5)-4(0) = -6}\\\end{array}$

El menor valor es -7.5, entonces el punto B satisface la solución.