Question

Por favor ayúdame a resolver esta integral por sustitución trigonometrica

Answer 1

La solución de la integral ∫((x²-1)/x²) = -Arctg(√(x²-1) + √(x²-1) + k

Para aplicar método de sustitución trigonométrica, hacemos:

u = x²-1 ⇒ x² = u+1 ⇒ x = √(u+1)

du = 2xdx ⇒ dx = du/2x = du/2√(u+1)

Hacemos las sustituciones

∫((x²-1)/x²) = ∫(√u/√(u+1))(du/2√(u+1) =  (1/2)∫(√u/(u+1))du

 

Aplicamos otro cambio

v = √u ⇒ du = vdv: también: u+1 = v²+1

hacemos las sustituciones

∫((x²-1)/x²) = (1/2)∫(2v/(v²+1))dv = ∫((v²/(v²+1))dv = ∫((-1/(v²+1) +1))dv

∫((x²-1)/x²) = -Arctg(v) + v + C₁; siendo c₁ una constante cualquiera

 

devolvemos ahora todos los cambios

-Arctg(v) + v + C₁ = -Arctg(√u) + √u + C₂; C₂ es una constante

-Arctg(√u) + √u + C₂ = -Arctg(√(x²-1)) + √(x²-1) + K; K es una constante

 

Entonces

∫((x²-1)/x²) = -Arctg(√(x²-1)) + √(x²-1) + k