Question

POR FAVOR, AYUDA.... URGENTE
¿Cuántos lados tiene el polígono regular convexo que cuándo se le aumenta un lado, cada uno de sus ángulos interiores aumenta en 5 grados?

Answer 1

Tarea:

¿Cuántos lados tiene el polígono regular convexo que cuando se le aumenta un lado, cada uno de sus ángulos interiores aumenta en 5º?

Respuesta:

Tiene 8 lados

Explicación paso a paso:

Siendo "n" el nº de lados de cualquier polígono regular, la fórmula que se usa para conocer la medida de su ángulo interior es:

$\'Angulo\ interior= x = \dfrac{(n-2)*180}{n}$

Basándome en ello diré que el polígono cuyo nº de lados queremos hallar tiene "n" lados y por tanto esa fórmula es la primera ecuación de un sistema de dos ecuaciones.

La segunda ecuación viene determinada por el hecho de que hay que añadir 5º a cada ángulo interior "x" de tal modo que los nuevos ángulos medirán "x+5" lo cual implica que el polígono tendrá (n+1) lados.

Lo represento en esta nueva ecuación:

$x+5 = \dfrac{((n+1)-2)*180}{n+1}$

Y ahora se trata de resolver el sistema. Lo haré por igualación despejando "x" en la segunda ecuación:

$x = \dfrac{((n+1)-2)*180}{n+1}-5$

Realizo la igualación y resuelvo:

$\dfrac{(n-2)*180}{n}=\dfrac{((n+1)-2)*180}{n+1}-5\\ \\ \\ \dfrac{180n-360}{n} =\dfrac{180n-180}{n+1}-5\\ \\ \\ 180n^2+180n-360n-360=180n^2-180n-5n^2-5n\\ \\ 180n-360n-360+180n+5n^2+5n=0\\ \\ 5n^2+5n-360=0\\ \\ ...\ simplifico\ dividiendo\ todo\ entre\ 5\ ...\\ \\ n^2+n-72=0\\ \\ \ ... resuelvo\ por\ f\'ormula\ ec.\ cuadr\'aticas\ ...\\ \\ n_1=\dfrac{-1+17}{2} =8$

El otro resultado  n₂  sale negativo y no se considera para el ejercicio dado que hablamos de ángulos positivos.

Así pues, el polígono regular buscado tiene 8 lados (octógono)

Saludos.