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Respuestas a la pregunta
Solución
El rectángulo sombreado tiene un área de
A_{1}=(x^{2}+2)(x^{2}-1) y la del rectángulo blanco es A_{2}=(x^{2}-x-1)(x^{2}-x+2 por lo tanto el área de la sección rectangular es :
A_{1}-A_{2}=(x^{2}+2)(x^{2}-1)-((x^{2}-x-1)(x^{2}-x+2))
Luego desarrollando los productos y simplificando se obtiene:
x^{4}+x^{2}-2-(x^{4}-2x^{3}+2x^{2}-x-2)\\x^{4}+x^{2}-2-x^{4}+2x^{3}-2x^{2}+x+2\\x^{4}-x^{4}+2x^{3}+x^{2}-2x^{2}+x+2\\2x^{3}-x^{2}+x+2
Finalmente la sección rectangular sombreada es:
2x^{3}-x^{2}+x+2
Para el segundo problema se tiene que el área del rectánguloes:
A=(x+y)(x+3y)=x^{2}+4xy+3y^{2}
También se pudo haber llegado al resultado sumando las áreas individuales es decir:
El área del rectángulo blanco es:
A_{1}=xy
El área del cuadrado sombreado de lado x es:
A_{2}=x.x=x^{2}
El área del rectángulo de lados 3y y x es:
A_{3}=(3y)(x)=3xy
Finalmente el área del último rectángulo de lados 3y y y es:
A_{4}=(3y)(y)=3y^{2}
Luego sumando todas las áreas se obtiene:
A_{1}+A_{2}+A_{3}+A_{4}\\xy+x^{2}+3xy+3y^{2}\\x^{2}+4xy+3y^{2}
El área del triángulo de base x+y y altura 2x+4y es:
A=\frac{(x+y)(2x+4y)}{2}\\A=\frac{2x^{2}+6xy+4y^{2}}{2}\\A=x^{2}+3xy+2y^{2}