Question

POR FAVOR AYUDA CON ESTO!!!
Dos ángulos en un triángulo miden 65 y 40 grados mientras que el lado determinado por ellos mide 7 cm. Encuentra la longitud de los otros dos lados del triángulo.
(Con proceso por favor)

Answer 1

Las longitudes de los otros dos lados del triángulo son de 6.57 centímetros y de 4.66 centímetros

Resolución de triángulo

Datos

$\bold {A = 65^0}$

$\bold {B = 40^0}$

$\bold {c = 7\ cm}$

Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.

Donde se pide hallar la longitud de los otros dos lados del triángulo

Para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-

Teorema del Seno:

El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.

Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,

Entonces se cumple la relación:

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}$

Hallamos el valor del del tercer ángulo C

Por enunciado sabemos dos de los valores de los ángulos del triángulo. Vamos a hallar el valor del tercero

Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°

Planteamos

$\boxed {\bold { 180^o = A+ B+C }}$

$\boxed {\bold { 180^o = 65^o+ 40^o+C }}$

$\boxed {\bold {C = 180^o- 65^o - 40^o }}$

$\large\boxed {\bold {C= 75^o }}$

El valor del ángulo C es de 75°

Conocido el valor del tercer ángulo

Empleamos el teorema del seno para hallar las longitudes de los dos lados faltantes

Hallamos la longitud del lado a

$\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed { \bold { \frac{a }{ sen (65^o ) } = \frac{ 7 \ cm }{sen(75 ^o ) } }}$

$\boxed { \bold {a = \frac{ 7 \ cm \ . \ sen(65^o ) }{ sen(75^o ) } }}$

$\boxed { \bold {a = \frac{ 7 \ cm \ . \ 0.906307787037 }{ 0.965925826289 } }}$

$\boxed { \bold {a = \frac{ 6.344154509259 }{ 0.965925826289 } \ cm}}$

$\boxed { \bold {a = 6.56795 \ cm}}$

$\large\boxed { \bold {a = 6.57 \ cm}}$

La longitud del lado a es de 6.57 centímetros

Calculamos la dimensión del lado b

$\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma )} }}$

$\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}$

$\large\textsf{Reemplazamos y resolvemos }$

$\boxed { \bold { \frac{b }{ sen (40^o ) } = \frac{ 7 \ cm }{sen(75 ^o ) } }}$

$\boxed { \bold {b = \frac{ 7 \ cm \ . \ sen(40^o ) }{ sen(75^o ) } }}$

$\boxed { \bold {b = \frac{ 7 \ cm \ . \ 0.64278760987 }{ 0.965925826289 } }}$

$\boxed { \bold {b = \frac{ 4.499513267809 }{ 0.965925826289 } \ cm}}$

$\boxed { \bold {b = 4.65823 \ cm}}$

$\large\boxed { \bold {b = 4.66 \ cm}}$

La longitud del lado b es de 4.66 centímetros

Se adjunta gráfico a escala para mejor comprensión entre las relaciones de los lados y los ángulos planteadas