Question

Por favor, alguien que me ayude con esto de calculo diferencial.

Answer 1

Respuesta:

a) Puntos Máximos y Mínimos:

Máximo Absoluto en +∞

Mínimo Absoluto en -∞

Máximo Relativo en (-3,-21)

Mínimo Relativo en (3,15)

b) Intervalos Crecimiento y Decrecimiento:

(-∞,-3) U (3,+∞)= + Crece

(-3,3) = - Decrece

c) Intervalos de Concavidad y Convexidad:

(-∞,0) = - Cóncava

(0,+∞) = + Convexa

d) Punto de inflexión:

(0,-3)

Explicación paso a paso:

Para empezar con todo esto hay que sacar la primera y la segunda derivada entonces:

$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-9x-3\\f'(x)=\frac{1}{3}[x^{3}]'-9[x]'-[3]'\\f'(x)=(\frac{1}{3})(3)x^{3-1}-9(1)-0\\f'(x)=x^{2}-9$

2da:

$f'(x)=x^{2} -9\\f''(x)=[x^{2}]'-[9]'\\f''(x)=2x^{2-1}-0\\f''(x)=2x$

Puntos Máximos y Mínimos:

Estos ocurren cuando la derivada se vuelve una recta tangente a punto  horizontal es decir  =  0  o cuando es infinita por lo que no existe.

sin embargo la función tiene Domf ∀ x ∈ R por lo que la derivada existe para todo x.

Cuando la derivada vale 0:

$f'(x)=x^{2}-9\\x^{2}-9=0\\x^{2} =\sqrt{9} \\|x|=3$

En que intervalo la la función  crece y decrece:

Esto pasa cuando la derivada es positiva o negativa para cada intervalo por lo que hay que evaluar la derivada con un número de prueba de cada intervalo.

Intervalos:

(-∞,-3) = + Crece

(-3,3) = -  Decrece

(3,+∞) = +  Crece

Ya con esto determinamos que hay un Máximo en -3 y un Mínimo en 3.

Calculamos la y para x = 3:

$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-9x-3\\ f(3)=\frac{1}{3}(3)^{3}-9(3)-3\\ f(3)=\frac{27}{3}-27-3\\ f(3)=\frac{27}{3}-30\\ f(3)=\frac{27}{3}-30\\ f(3)=-21$

Ahora evaluamos en x = -3:

$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-9x-3\\ f(-3)=\frac{1}{3}(-3)^{3}-9(-3)-3\\ f(-3)=\frac{-27}{3}+27-3\\ f(-3)=\frac{-27}{3}+24\\ f(-3)=15$

Concluimos que hay:

Máximo Absoluto en +∞

Mínimo Absoluto en -∞

Máximo Relativo en (-3,-21)

Mínimo Relativo en (3,15)

Concavidad y Convexidad:

Esta se puede obtener con el criterio de la segunda derivada siendo negativa cuando la función es cóncava y positiva cuando la función es convexa

pero para analizar esto primero tenemos que encontrar un punto de inflexión que es cuando la función no es cóncava ni convexa por lo que es 0

Punto de inflexión:

$f''(x)=2x\\2x=0\\x=0$

Evaluar la función original para encontrar la coordenada y:

$f(x)=\frac{1}{3}x^{3}-9x-3\\f(0)=\frac{1}{3}(0)^{3}-9(0)-3\\f(0)=-3$

Punto de inflexión es:

(0,-3)

Ahora si podemos ver los intervalos de concavidad y convexidad cuando la segunda derivada es + (Convexa) o - (Cóncava):

f''(x) = 2x

2(-1) = -

2(1) = +

Intervalos:

(-∞,0) = - Cóncava

(0,+∞) = + Convexa

Puedes ver todo esto Gráficamente