Question

pofaaaaa urgenteee alguien que me haga el favor de colaborarme con este ejercicio de Ecuaciones diferenciales LINEALES DE PRIMER ORDEN
graciassss
dy/dx+2y=e^(-x),donde y(1)=2/e

Answer 1

La solución de la ecuación diferencial de primer orden es $y=\frac{e^x+e}{e^{2x}}$.

¿Cómo resolver la ecuación diferencial de primer orden?

En esta ecuación diferencial no es posible aplicar la separación de variables, pero vemos que es una ecuación diferencial lineal de primer orden, por lo que podemos proponer una función f(x) tal que:

$f'(x)=f(x).g(x)$

Donde g(x) va a ser el coeficiente que multiplica a la función 'y', entonces, tenemos g(x)=2. La ecuación diferencial queda, multiplicando por f(x) en ambos miembros:

$f(x)\frac{dy}{dx}+2y.f(x)=e^{-x}.f(x)\\\\f'(x)=f(x).g(x)=2f(x)= > f(x).y'+f'(x).y=e^{-x}.f(x)\\\\\frac{d}{dx}(f(x).y)=e^{-x}.f(x)$

Integrando en ambos miembros tenemos lo siguiente:

$f(x).y=\int\limits^{}_{} {e^{-x}.f(x)} \, dx$

Por otro lado tenemos:

$f'(x)=f(x).g(x)\\\\df(x)=f(x).g(x)dx\\\\f(x)=e^{\int\limits^{}_{} {g(x)} \, dx }\\\\g(x)=2= > f(x)=e^{\int\limits^{}_{} {2} \, dx }=e^{2x}$

Reemplazando en la expresión anterior tenemos:

$e^{2x}.y=\int\limits^{}_{} {e^{-x}.e^{2x}} \, dx\\\\e^{2x}.y=\int\limits^{}_{} {e^{x}} \, dx\\\\e^{2x}.y=e^x+C\\\\y=\frac{e^x+C}{e^{2x}}$

Esta es la solución general, la solución particular para tener la condición especificada es:

$y(1)=\frac{2}{e}\\\\y(1)=\frac{e^1+C}{e^2}=\frac{2}{e}\\\\e+C=\frac{2}{e}.e^2\\\\e+C=2e\\\\C=e$

Entonces, la solución de la ecuación diferencial es:

$y=\frac{e^x+e}{e^{2x}}$

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