Question

Podrian explicarme estos ejercicios de superficies?

Answer 1

Las superficies cuádricas A y C son sendos hiperboloides de dos hojas a lo largo del eje x, mientras que la superficie B es un cono.

¿Cómo identificar las superficies?

Para identificar las superficies, en algunos casos, se debe operar sobre las expresiones para obtener una de las expresiones conocidas, entonces tenemos para la superficie A:

$x^2-y^2-z^2=1\\-x^2+y^2+z^2=-1$

Con lo cual esta es un hiperboloide de dos hojas al tener su término independiente negativo, a lo largo del eje x, ya que este término es negativo.

En cuanto a la superficie B, esta es un doble cono, porque cuando el término independiente es 0, el hiperboloide degenera en un cono.

La superficie C es un hiperboloide de dos hojas a lo largo del eje x, ya que el término que contiene a x es negativo y el término independiente es negativo.

¿Cómo hallar las trazas de las superficies?

Las trazas se pueden hallar igualando a cero alguna de las variables, en cuanto a la primera superficie tenemos:

• La traza en el plano xy es $x^2-y^2=1$;
• En el plano xz la traza es $x^2-z^2=1$;
• En el plano zy la traza es $-y^2-z^2=1= > y^2+z^2=-1$.

Las primeras dos son hipérbolas a lo largo del eje x mientras que la tercera no existe.

Para la superficie B tenemos:

• En el plano xy la traza es $2x^2-4y^2=0= > 2x^2=4y^2= > y=\ñ\frac{1}{\sqrt{2}}x$;
• La traza en el plano xz es $2x^2+z^2=0$;
• La traza en el plano zy es $-4y^2+z^2=0= > z=\ñ2y$

En el primero y tercer caso las trazas son dobles rectas, mientras que en el segundo caso es el punto (0,0,0).

Para la superficie C tenemos:

• La traza en el plano xy es $-2x^2+4y^2=-16= > 2x^2-4y^2=16$;
• La traza en el plano xz es $-2x^2+z^2=-16= > 2x^2-z^2=16$;
• En el plano zy la traza es $4y^2+z^2=-16= > -4y^2-z^2=16$.

Las dos primeras trazas son hipérbolas a lo largo del eje x mientras que la tercera no existe.

¿Cómo hallar las curvas de nivel?

Haciendo z=k se puede hallar las ecuaciones de las curvas de nivel para cada superficie, para las tres superficies tenemos:

$x^2-y^2-k^2=1= > x^2-y^2=1+k^2\\2x^2-4y^2+k^2=0= > 2x^2-4y^2=-k^2= > 4y^2-2x^2=k^2\\-2x^2+4y^2+k^2=-16= > 2x^2-4y^2=k^2+16$

Para las tres superficies, las curvas de nivel son hipérbolas, a lo largo del eje x en las superficies A y C y a lo largo del eje 'y' en la superficie B.

Con toda esta información se puede esbozar los gráficos de estas superficies.

Más ejemplos de superficies cuádricas en https://brainly.lat/tarea/11577952

#SPJ1

Answer 2

Respuesta:

Explicación paso a paso: