Question

Podrían ayudarme a demostrar las identidades trigonométricas adjunta.

Muchas gracias

Answer 1

Ay que divertido...escuchando música es mejor...ok..
Bueno lo primero, recordemos el orden de jerarquía en la resolución de problemas con distintas operaciones...
1)multiplicaciones o divisiones 
2)sumas y restas...

dicho eso...lo primero sería ubicar unos paréntesis para no confundirnos; ahora, para resolver casi, cualquier tipo de identidades, problemas, demostraciones, basta con que sepamos razones trigonométricas, y la madre de las identidades:

Razones trigonométricas: (las que vamos a usar)$csc(x)= \frac{1}{sin(x)} \\ \\ sec(x)= \frac{1}{cos(x)} \\ \\ tan(x)= \frac{sin(x)}{cos(x)} \\ \\ ctg(x)= \frac{cos(x)}{sin(x)}$
Y también la identidad más querida..:3..

$sin ^{2} (x)+cos ^{2} (x)=1$

y vamos a usar bastante la aritmética y el álgebra elemental....

$i)Demostrar \\ \frac{cos ^{2}(x) }{sin(x)} +sin(x)=csc(x)$
Vamos a partir de la izquierda, para llegar a la derecha, podríamos salir de la derecha también, pero está un poco complicado llegar de ahí a la izquierda verdad?...
Todo el procedimiento es ir jugando con la única identidad que tenemos disponible, y la única que necesitamos en realidad...:P

$:\frac{cos ^{2}(x) }{sin(x)} +sin(x)= \frac{cos (x)^{2} +sin ^{2}(x) }{sin(x)} = \frac{1}{sin(x)} =csc(x)$ Listo¡..
Hay otros caminos pero éste se ve bonito...
$ii)Demostrar \\ tan(x)(sin(x)+ctg(x)cos(x))=sec(x)$

partamos de la izquierda y vamos a la derecha

$:tan(x)(sin(x)+ctg(x)cos(x))= \frac{sin(x)}{cos(x)} (sin(x)+ \frac{cos(x)}{sin(x)}(cos(x))=... \\ \\ ...= \frac{sin(x)}{cos(x)} (sin(x)+ \frac{cos ^{2}(x) }{sin(x)} )= \frac{sin(x)}{cos(x)} ( \frac{sin ^{2}(x) +cos ^{2} }{sin(x)} )= \frac{sin(x)}{cos(x)} ( \frac{1}{sin(x)} )=... \\ \\ ...= \frac{1}{cos(x)} =sec(x)$ Listo¡

$iii)Demostrar \\ \frac{cos(x)}{1-sin(x)} - \frac{1+sin(x)}{cos(x)} =0$

salgamos de la izquierda y lleguemos a la derecha...ni de chiste vamos a poder salir de la derecha y llegar a la izquierda...bueno si vale, pero...jaja...mucho eso...

$: \frac{cos(x)}{1-sin(x)} - \frac{1+sin(x)}{cos(x)}= \frac{cos ^{2}(x) -(1+sin(x))(1-sin(x))}{(1-sin(x))(cos(x))} = ... \\ \\ ...= \frac{cos ^{2}(x)-(1-sin(x)+sin(x)-sin ^{2}(x) ) }{(1-sin(x))(cos(x))} = \frac{cos ^{2}(x)-(1-sin ^{2}(x) ) }{(1-sin(x))(cos(x))} =... \\ \\ ...= \frac{cos ^{2}(x)-(cos ^{2}(x) ) }{(1-sin(x))(cos(x))} = \frac{0}{(1-sin(x))(cos(x))} =0$

Y listo eso sería todo....si tienes alguna pregunta me avisas

Nota: Como te diste cuenta basta que sepamos esas razones trigonométricas y esa identidad...puedes resolver la mayoría gran parte de cualquier ejercicio...claro...puedes aprenderte otras más...pero lo importante es que en base a éstas poquitas...se demuestran todas las demás...entonces, para demostrar las demás...hay que jugar con la identidad del principio y tendrás una gran variedad de identidades a tu disposición en caso de no aprendertelas...