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Respuesta:
Números naturales, enteros y racionales
Estudiamos en este tema los números reales que aparecen de forma más sencilla e intuitiva. Empezamos detectando dentro de IR a los números naturales, a partir de los cuales definiremos fácilmente los números enteros y racionales. Iremos analizando el comportamiento de estos tres subconjuntos de R con respecto a la suma, el producto y el orden.
2.1. Números naturales. Inducción
Intuitivamente, los números naturales son los que se obtienen sumando 1 consigo mismo: 1, 1+1=2, 1+1+1=3, etc. El proceso no se detiene y va produciendo números cada vez. mayores: 1 <2<3<... Pues bien, para dar una definición rigurosa del conjunto de los números naturales nos fijamos en una propiedad que claramente dicho conjunto debería tener:
Se dice que un conjunto ACR es inductivo cuando verifica las dos condiciones siguientes:
(ii) x A x+1€ A
Por ejemplo, R y R+ son conjuntos inductivos, R y R no lo son. Con nuestra idea intuitiva de los números naturales, está claro que todo conjunto inductivo debería contenerlos, luego parece lógico detectarlos de la siguiente forma:
El conjunto N de los números naturales es, por definición, la intersección de todos los subconjuntos inductivos de R. Poco a poco iremos viendo que esta definición se corresponde perfectamente con nuestra idea intuitiva.
Empezamos observando que N es un conjunto inductivo. Por una parte, 1 pertenece a todos los subconjuntos inductivos de R, luego 1 EN. Por otra, si neNy A es un subconjunto inductivo de R, tenemos que n ENCA, luego también + 1 € A. por ser A inductivo. Vemos así que n+1 pertenece a todos los subconjuntos inductivos de R. es decir, n+1 EN, como se quería. Podríamos decir que N es el más pequeño de todos los subconjuntos inductivos de R. pues está contenido en todos ellos. Esta idea se resalta en el siguiente enunciado, que nos da la propiedad clave de los números naturales.
Explicación paso a paso:
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