Question

Pierre Fermat fue uno de los grandes matemáticos del siglo XVII. Entre sus aportes es las matemáticas podemos encontrar la siguiente función: F(X)= (2^2^x)+1. Fernat afirmó que todos los números que tuvieran la forma mostrada en la función anterior eran números primos. 248. Comprueba que para x=1 y x=2 se obtienen números primos. 249. Determina los números primos que genera f para x=3y4.

Answer 1

La función propuesta por Fermat tiene como imágenes para los valores solicitados f(1)=5; f(2)=17; f(3)=257 y f(4)=65537, todos ellos números primos.

Explicación:

Podemos comprobar que los números que siguen la expresión $f(x)=2^{2^x}+1$ son números primos siendo esta una función generadora de números primos, toda vez que x sea un número entero comprobando con los valores solicitados.

248) El valor de esta expresión para x=1 y x=2 es:

$f(1)=2^{2^1}+1=4+1=5\\f(2)=2^{2^2}+1=16+1=17$

Siendo efectivamente ambos números primos.

249) Para x=3 y x=4 queda:

$f(3)=2^{2^3}+1=256+1=257\\f(4)=2^{2^4}+1=65536+1=65537$

Podemos comprobar si estos dos son primos dividiéndolos sucesivamente por los números primos hasta que el cociente sea menor que el divisor, si ninguna de las divisiones resultó entera, entonces el número es primo:

257/2=128,5

257/3=85,7

257/5=51,4

257/7=36,7

257/11=23,4

257/13=19,8

257/17=15,1

Efectivamente comprobamos que 257 es primo.

65537/2=32768,5

65537/3=21845,7

65537/5=13107,4

65537/7=9362,7

65537/11=5957,9

65537/13=5041,3

65537/17=3855,11

65537/19=3449,32

65537/23=2849,4

65537/29=2259,9

Se sigue iterando así hasta 257 por los números primos y se puede ver que el número es efectivamente primo.