Pedro sabe que el número 420 no tiene 760 divisores positivos, para que los tenga, ¿cuántas veces debe multiplicarlo por 12?
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Para que el número de divisores sea igual a 760 entonces debemos multiplicar 8 veces por 12
Descomponemos el número 420 en factores primos:
420 = 2²*3*5*7
Si multiplicamos por 12 = 2²*3 "n" veces, entonces la descomposición en factores primos es:
420*12ⁿ = 2²*3*5*7*(2²*3)ⁿ
= 2²⁺²ⁿ*3ⁿ⁺¹*5*7
El total de divisores positivos queremos que sean 760:
(2 + 2n + 1)*(n + 1 + 1)*(1 + 1)*(1 + 1) = 760
(2n + 3)*(n + 2)*4 = 760
(2n + 3)*(n + 2) = 760/4
(2n + 3)*(n + 2) = 190
2n² + 4n + 3n + 6 = 190
2n² + 7n + 6 - 190 = 0
2n² + 7m - 184 = 0
2*(n - 8)*(n + 11.5) = 0
Como n debe ser natural entonces n = 8
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