Question

PE A) Tres clientes acudieron a la papelería: El primero gastó $207. 00 por 3 plumas, 4 lapiceros y 5 marcadores. El segundo cliente pagó $103. 00 por una pluma, 3 lapiceros y 2 marcadores. El tercer cliente gasto $216. 00 por 6 plumas, un lapicero y 4 marcadores. ¿Cuál es el costo de una pluma, un lapicero y un marcador en la papelería?​.

Answer 1

El costo de una pluma es de $ 25

El costo de un lapicero es de $ 18

El costo de un marcador es de $ 12

Solución

Llamamos variable "x" al costo de una pluma, variable "y" al costo de un lapicero y variable "z" al costo de un marcador

Planteamos un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

$\large\boxed {\bold {3 x \ +\ 4y +5z = 207 }}$       $\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\large\boxed {\bold {x \ + \ 3y + 2z = 103 }}$         $\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\large\boxed {\bold {6x \ + \ y + 4z = 216 }}$         $\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

Luego despejamos x en la segunda ecuación

$\large\boxed {\bold {x =103 -3y-2z }}$          $\large\textsf{Ecuaci\'on 4 }$

Reemplazamos

$\large\textsf{Ecuaci\'on 4 }$

$\large\boxed {\bold {x =103 -3y-2z }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 1 y Ecuaci\'on 3 }$

$\large\boxed {\bold {3 x \ +\ 4y +5z = 207 }}$

$\bold {3 (103-3y-2z) \ +\ 4y +5z = 207 }$

$\bold {309-9y-6z \ +\ 4y +5z = 207 }$

$\bold {-5y-z= 207-309 }$

$\large\boxed {\bold { 5y + z = 102 }}$          $\large\textsf{Ecuaci\'on 5 }$

$\large\boxed {\bold {6x \ + \ y + 4z = 216 }}$

$\bold {6 (103-3y-2z) \ +\ y +4z = 216 }$

$\bold {618-18y-12z \ +\ y +4z = 216 }$

$\bold {-17y-8z= 216-618 }$

$\large\boxed {\bold { 17y + 8z = 402 }}$          $\large\textsf{Ecuaci\'on 6 }$

Resolvemos el sistema con Ecuación 5 y Ecuación 6

$\large\boxed {\bold { 5y + z = 102 }}$            $\large\textsf{Ecuaci\'on 5 }$

$\large\boxed {\bold { 17y + 8z = 402 }}$        $\large\textsf{Ecuaci\'on 6 }$

Despejamos z en ecuación 5

$\large\boxed {\bold {z =102 -5y }}$             $\large\textsf{Ecuaci\'on 7 }$

Resolvemos el sistema 2x2

Reemplazando

$\large\textsf{Ecuaci\'on 7 }$

$\large\boxed {\bold {z =102 -5y }}$

$\large\textsf {En Ecuaci\'on 6 }$

$\large\boxed {\bold { 17y + 8z = 402 }}$

$\boxed {\bold {17y \ + \ 8(102-5y) = 402 }}$

$\boxed {\bold {17y \ + \ 816- \ 40y = 402 }}$

$\boxed {\bold { - 23y = 402\ -\ 816 }}$

$\boxed {\bold { - 23y = -414 }}$

$\boxed {\bold { y = \frac{-414}{-23} }}$

$\large\boxed {\bold { y = 18 }}$

El costo de un lapicero es de $ 18

Hallamos el precio de un marcador

Reemplazando el valor hallado de y en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 7 }$

$\large\boxed {\bold {z =102 -5y }}$              

$\boxed {\bold {z =102- 5 \ . \ (18) }}$

$\boxed {\bold {z =102 - 90}}$

$\large\boxed {\bold {z =12 }}$

El costo de un marcador es de $ 12

Hallamos el costo de una pluma

Reemplazando los valores hallados de y y z en

$\large\textsf{Ecuaci\'on 4 }$

$\large\boxed {\bold {x =103 -3y-2z }}$

$\boxed {\bold {x =103 -3\ . \ (18)-2\ .\ (12) }}$

$\boxed {\bold {x =103 -54\ -24 }}$

$\large\boxed {\bold {x =25}}$

El precio de una pluma es de $ 25

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x, y y z en el sistema de ecuaciones

$\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }$

$\boxed {\bold {3 x \ +\ 4y +5z = 207 }}$

$\boxed {\bold {3 \ .\ \ \ 25 \ +\ 4 \ . \ \ \ 18\ + 5 \ . \ \ \ 12 = \ \ 207 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 75 \ +\ \ 72 \ +\ \ 60 = \ \ 207}}$

$\boxed {\bold { \ \ 207 = \ \ 207 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }$

$\boxed {\bold {x \ + \ 3y + 2z = 103 }}$

$\boxed {\bold {1 \ .\ \ \ 25 \ +\ 3 \ . \ \ \ 18\ + 2 \ . \ \ \ 12 = \ \ 103 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 25 \ +\ \ 54 \ +\ \ 24 = \ \ 103}}$

$\boxed {\bold { \ \ 103= \ \ 103 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$

$\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }$

$\boxed {\bold {6x \ + \ y + 4z = 216 }}$

$\boxed {\bold {6 \ .\ \ \ 25 \ +\ 1 \ . \ \ \ 18\ + 4 \ . \ \ \ 12 = \ \ 216 }}$

$\boxed {\bold {\ \ 150 \ +\ \ 18 \ +\ \ 48 = \ \ 216}}$

$\boxed {\bold { \ \ 216= \ \ 216 }}$

$\textsf{Se cumple la igualdad }$