Question

Para subir una caja de 49.7 kg a un camión, se desliza sobre una rampa de inclinada 30°. En ausencia de fricción, bastaría darle una velocidad inicial de 4.5 m/s para que alcanzara a subir, sin embargo, como sí hay fricción, la caja sólo recorre 2.0 m sobre la rampa y regresa. ¿Con qué rapidez regresa la caja? Sugerencia: Primero calcula la energía perdida por la fricción al subir.

Answer 1

A) Cálculo de la energía perdida por la fricción al subir, EF

EF = energía mecánica inicial - energía mecánica en el punto más alto

Energía mecánica inicial = Energía cinética  inicial

Energía cinética inicial = m * v^2 / 2 = 49,7 kg * (4,5m/s)^2 / 2 = 503,2125 joule

Energía mecánica en el punto más alto = Energía potencial ------ (en vista de que la velocidad será cero).

Energía potencial = m * g * h 

sen (30°)  =  h / recorrido => h = sen(30) * 2,0 m = 1,0 m

Energía potencial = 49,7 kg * 9,8 m/s^2 * 1,0 m = 487,06 joule

Pérdida por friccción = 503,2125 joule - 487,06 joule = 16,1525 joule


B) Al bajar se considera que el móvil pierde una cantidad igual de energía por frincción, por lo que la energía con que regresa al punto inicial será:

487,06 joule - 16,1525 joule = 470,9075

En el punto más bajo, la energía potencial es cero, por lo que la energía cinética es 470,9075 joule.

Ahora: 470,9075 joule = m*v^2 / 2 => v = √(2*470,9075joule / 49,7kg )

v = 4,35 m/s

Respuesta: 4,4 m/s

Answer 2

Se trata de un problema donde interviene una fuerza no conservativa (Fricción) y para resolver este problema usaremos el teorema Trabajo- Energía que se expresa de la forma $W_n_c= K_2 -K_1 +U_2 -U_1$ , también vamos a dividir este ejercicio en dos etapas, es decir, cuando se piensa que no hay fricción y se sube la caja, y cuando la fricción hace su trabajo y regresa la caja a inicio de la rampa.

Nota: Recuerde que se trata de un plano inclinado y que la energía potencial se expresa de la forma: $U= mgh$ así que por trigonometría la altura será   $h= (x) [ sen ( \alpha)]$

Etapa 1:

Nuestro marco de referencia en esta tapa será el inicio de la rampa, es decir no hay altura y ahí se inicia con una velocidad inicial recorriendo un desplazamiento $x$ hasta que la fricción hace su trabajo donde en una altura $h$ la caja llegara al reposo, por lo cual aplicando el teorema trabajo- energía podemos decir que el trabajo realizado por la fricción será

             

                                            $W_n_c=-K_1+U_2$

                             

                                         $W_n_c=\frac{ - mv_1^2}{2} +mgxsen(\alpha )$

Etapa 2:

Aquí la caja se encuentra en una altura por lo que tiene energía potencial inicial, después la fricción seguirá haciendo su trabajo por lo que desde el reposo la caja ira adquiriendo una velocidad $v_2$ hasta llegar al inicio de la rampa, entonces usando nuevamente el teorema trabajo- energía podemos deducir que la velocidad con la que regresa será:

                                       $W_n_c=\frac{ mv_2^2}{2} -mgxsen(\alpha )$

despejando la velocidad tendremos que

                                            $v^2_2= \frac{2[W_n_c+mgxsen(\alpha )]}{m}$

si sustituimos el trabajo realizado por la fuerza de fricción calculado en la etapa 1, y con un poco de álgebra podemos decir que la velocidad está dada por la expresión:

                             $v^2_2= \frac{2[(\frac{ - mv_1^2}{2} +mgxsen(\alpha ))+mgxsen(\alpha )]}{m}$

entonces si tienes un problema similar puedes aplicar la siguiente expresión sustituyendo solo tus datos:

             

                                          $v_2=\sqrt{4gxsen(\alpha )-v_1^2}$

         

Solución;

       

$v_2=\sqrt{4(9.81 m/s^2)(2.0 m)(sen(30)-(4.5 m/s)^2}$

$v_2=4.3578 m/s$

entonces la velocidad con la que regresa es

Respuesta:     $v_2=$ 4.3578 m/s