Question

para qué valores de λ el siguiente sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones no triviales.
(λ-3)x+y=0
x+(λ-3)y=0

Answer 1

Hola, aquí va la respuesta

         Sistema homogéneo

"Un sistema de ecuaciónes se dice homogéneo si todos los términos independientes son nulos", es decir son pueden ser de la fórma:

a₁₁x₁ +  a₁₂x₂ +...+ a₁ₙxₙ=0

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ +...+ a₂ₙxₙ=0

:

aₘ₁x₁ + aₘ₂x₂ +...+ aₘₙxₙ=0

Si resolvemos un sistema de estas caracteristicas, las soluciónes serán las triviales (es decir 0)

           x₁=x₂=...=xₙ= 0

Si armamos la matríz del sistema, se deberá cumplir que su determinante es 0

Vamos al ejercicio, tenemos el sistema:

(λ-3)x+y=0

x+(λ-3)y=0

Armamos la matríz:

*Voy a usar la letra alfa para denotar a lambda

$\left[\begin{array}{ccc}\alpha -3&&1\\&&\\1&&\alpha -3\end{array}\right]$

Calculemos el determinante, (si no sabes como hacerlo dejo un link abajo)

$Det=(\alpha -3)(\alpha -3) - 1*1$

$Det= \alpha^{2} -3\alpha -3\alpha +9-1$

$Det= \alpha ^{2} -6\alpha +8$

Como el sistema es homogéneo, su determinante tiene que ser 0

$\alpha ^{2} -6\alpha +8=0$

Resolvemos la ecuación cuadrática

$(\alpha -4)(\alpha -2)=0$

$\alpha -4=0$

$\alpha _{1} =4$

$\alpha -2=0$

$\alpha _{2} =2$

Respuesta:   El sistema de ecuaciónes tendrá soluciones no triviales para:

λ₁= 4    ∧   λ₂= 2

*Determinante 2x2:   https://brainly.lat/tarea/34677699

Saludoss