Question

¿Para que los valores de c ,b la recta 2x+y=b es tangente a la parábola y=cx^2 cuando x=2

Answer 1

Vamos a demostrar que los valores buscados son: 

C = - ½ 
b = 2 

Para ello trabajaremos con las ecuaciones de las dos curvas que nos indican: 

Parábola: 
y = c x² ... ❶ 

Recta: 
y = b - 2x ... ❷ 
____________________ 

Cuando "x=2", ¿Cuánto vale la ordenada en la parábola?. De ❶: 
y = 4c 

Cuando "x=2", ¿Cuánto vale la ordenada en la recta?. De ❷: 
y = b - 4 

Como la recta es tangente a la parábola en "x=2" entonces los dos valores anteriores deberán ser iguales. O sea: 
4c = b - 4 ⇒ [y despejando] 

b = 4 + 4c ... ❸ 
____________________ 

Deriva la expresión ❶: 
y ' = 2c x 

y la calculamos en "x=2": 
y '(2) = 4c 

Deberías saber que el valor obtenido ("4c") es numéricamente igual al valor de la pendiente de la recta tangente a la parábola en "x=2". 

Viendo la recta ❷ (que acabará siendo la recta tangente a la parábola en "x=2"), vemos que su pendiente vale "-2". Deducimos, entonces que: 

4c = -2 ⇒ [de donde] 

c = - ½ ... ❹ 
____________________ 

Y finalmente, de ❹ en ❸ quedará: 
b = 4 + 4 (-½) ⇒ 

b = 2 
____________________ 

Espero te haya sido de utilidad. 
Saludos, Cacho. 
... 

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SALUDOS.