Question

Para la función f cuya gráfica está dada, establezca el valor de
cada una de las cantidades siguientes. Si no existe, explique
por qué.

Answer 1

Las cantidades evaluadas de la función  f  requieren de la definición de límites y continuidad para concluir que

• $\bold{\lim_{x \to 1} f_{(x)}~=~2 }$
• $\bold{\lim_{x \to 3^-} f_{(x)}~=~1 }$
• $\bold{\lim_{x \to 3^+} f_{(x)}~=~4 }$
• $\bold{\lim_{x \to 3} f_{(x)}~~No~Existe }$
• f(3)  =  3

¿Qué es el límite de una función?

Una definición intuitiva de límite es que, cuando existe, representa el valor al que tiende una función cuando la variable independiente se aproxima a un valor determinado.

Gráficamente, es el valor al que se aproxima la gráfica de la función cuando la variable independiente se acerca a un valor determinado.

Cuando este valor de tendencia no se puede determinar, se dice que el límite no existe. Esta situación se asocia, generalmente, a rupturas en las gráficas que se conocen como discontinuidades.

En el caso estudio:

$\bold{(a)\qquad \lim_{x \to 1} f_{(x)} }$

Cuando la variable independiente  x  tiende al valor  1,  la función se aproxima al valor  2.  La gráfica no se interrumpe en esta vecindad, es decir, es continua, por lo que se concluye que

$\bold{\lim_{x \to 1} f_{(x)}~=~2 }$

$\bold{(b)\qquad \lim_{x \to 3^-} f_{(x)} }$

Cuando  x  tiende al valor  3  por la izquierda,  la función se aproxima al valor  1.  La gráfica se interrumpe en  x  =  3,  es decir, hay una discontinuidad, por lo que se estudian los límites laterales, en este caso, el límite lateral por la izquierda es

$\bold{\lim_{x \to 3^-} f_{(x)}~=~1 }$

$\bold{(c)\qquad \lim_{x \to 3^+} f_{(x)} }$

Cuando  x  tiende al valor  3  por la derecha,  la función se aproxima al valor  4.  El límite lateral por la derecha es

$\bold{\lim_{x \to 3^+} f_{(x)}~=~4 }$

$\bold{(d)\qquad \lim_{x \to 3} f_{(x)} }$

Cuando  x  tiende al valor  3,  la función no se aproxima a un solo valor.  Esto rompe con el concepto de unicidad del límite, por lo que se dice que no existe

$\bold{\lim_{x \to 3} f_{(x)}~~No~Existe }$

(e)  f(3)

La función evaluada en el valor  x  =  3  es igual a  3.

f(3)  =  3

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Límites y continuidad        https://brainly.lat/tarea/47783428

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