Question

. Para la función dada determine la solución real del respectivo dominio y rango y compruebe con Geogebra f(x)=(4x^2-5)/(2x^2+8)

Answer 1

Para la función dada determine la solución real del respectivo dominio y rango  f(x)=(4x^2-5)/(2x^2+8)

DOMINIO

La función no tiene puntos no definidos ni limitaciones de dominio . Por lo tanto el dominio es :

$-\infty \:\ \textless \ x\ \textless \ \infty \:$
$\mathrm{Dominio\:de\:}\:\frac{4x^2-5}{2x^2+8}\::\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucion:}\:&\:-\infty \:\ \textless \ x\ \textless \ \infty \\ \:\mathrm{Notacion\:intervalo}&\:\left(-\infty \:,\:\infty \:\right)\end{bmatrix}$

RANGO 

$\mathrm{Reescribir\:}\frac{4x^2-5}{2x^2+8}\mathrm{\:como\:}\frac{4x^2-5}{2x^2+8}=y$
$\frac{4x^2-5}{2x^2+8}\left(2x^2+8\right)=y\left(2x^2+8\right)$
$x^2-5=y\left(2x^2+8\right)$
$\mathrm{El\:rango\:es\:el\:conjunto\:de\:'y'\:para\:los\:que\:el\:discriminante\:es\:mayor\:o\:igual\:a\:cero}$

$4x^2-5=2yx^2+8y 4x^2-5-8y=2yx^2+8y-8y 4x^2-5-8y=2yx^2 4x^2-5-8y-2yx^2=2yx^2-2yx^2$
$ax^2+bx+c=0\mathrm{\:el\:discriminante\:es\:}b^2-4ac$
$\mathrm{Para\:}\quad a=4-2y,\:b=0,\:c=-5-8y:\quad 0^2-4\left(4-2y\right)\left(-5-8y\right)$
$-64y^2+88y+80 -64y^2+88y+80\ge \:0 -8y^2+11y+10\ge \:0 8y^2-11y-10\le \:0$
$ax^2+bx+c=0\mathrm{\:las\:soluciones\:son\:}$
$x_{1,\:2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
$\mathrm{Para\:}\quad a=8,\:b=-11,\:c=-10:\quad y_{1,\:2}=\frac{-\left(-11\right)\pm \sqrt{\left(-11\right)^2-4\cdot \:8\left(-10\right)}}{2\cdot \:8}$
$y_{1}=\frac{-\left(-11\right)+\sqrt{\left(-11\right)^2-4\cdot \:8\left(-10\right)}}{2\cdot \:8}=\frac{11+\sqrt{441}}{16}=2$
$y_{2}=\frac{-\left(-11\right)-\sqrt{\left(-11\right)^2-4\cdot \:8\left(-10\right)}}{2\cdot \:8}=\frac{11-\sqrt{441}}{16}=-\frac{5}{8}$
$-\frac{5}{8}\le \:y\le \:2$
$\mathrm{Rango\:de\:}\frac{4x^2-5}{2x^2+8}:\quad \begin{bmatrix}\mathrm{Solucion:}\:&\:-\frac{5}{8}\le \:f\left(x\right)\ \textless \ 2\:\\ \:\mathrm{Notacion\:intervalo}&\:[-\frac{5}{8},\:2)\end{bmatrix}$