Question

Para la función dada determine la solución real del respectivo dominio y rango y compruebe con Geogebra

f(x)=(x^2+2x-3)/(x^3+3x^2-x-3)

Answer 1

El dominio de la función son todos los valores de x para los cuales está definida la función.

En este caso eso corresponde a todos los números reales excepto aquellos en que el denominador es nulo, puesto que la división entre cero no está definida en los números reales.

Por tanto, debes hallar los ceros del denominador:

x^3+3x^2-x-3 = 0

Puedes factorizar ese polinomio de la siguiente forma:

Agrupa términos: (x^3 + 3x^2) - (x + 3)

Extrae factor común x^2 del primer paréntesis: x^2 (x + 3) - (x+3)

Extrae factor común x + 3: (x + 3) (x^2 - 1)

Facotriza el segundo factor como diferencia de cuadrados:

 (x + 3)(x + 1)(x - 1).

Por tanto, el denominador se anula cuando x = -3, x = -1, x = - 1

Así el dominio es R - { -3, -1, 1}

Una vez establecido el dominio puedes simplificar la funciión factorizando el numerador:

x^2 + 2x - 3 = (x + 3)(x -1)

=> f(x) = [(x + 3)(x -1)] / [ (x+3)(x -1)(x+1)] = 1 / (x + 1) con x diferente de -3 y +1.

El rango es todos los valores reales excepto y = -1/2, y = 0, y = 1/2, que son los valores resultantes al calcular los límites de la función cuando x tiende a -3, -1 y 1 (los valores excluidos del dominio).